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第一章 引言1

1.1 参数摄动1

1.1.1 一个代数方程2

1.1.2 van der Pol振荡器3

1.2 坐标摄动5

1.2.1 零阶贝塞耳(Bessel)方程5

1.2.2 一个简单的例子6

1.3 阶的符号和标准函数7

1.4 渐近展开式与渐近序列10

1.4.1 渐近级数10

1.4.2 渐近展开式12

1.4.3 渐近展开式的唯一性15

1.5 收敛级数与渐近级数15

1.6 非一致展开式17

1.7 渐近展开式的基本运算19

练习21

第二章 直接展开式及非一致性的根源24

2.1 无限域24

2.1.1 Duffing方程24

2.1.2 弱非线性不稳定性的一个模型26

2.1.3 薄翼的超音速绕流27

2.1.4 球体的小雷诺(Reynolds)数绕流29

2.2 小参数与最高阶导数相乘32

2.2.1 一个二阶的例子32

2.2.2 物体的大雷诺(Reynolds)数绕流34

2.2.3 张弛振荡35

2.2.4 受预应力的环状板的非对称弯曲36

2.3 偏微分方程类型的改变38

2.3.1 一个简单的例子38

2.3.2 在斜面上向下流动的液体的长波39

2.4 奇点的出现43

2.4.2 地球-月球-宇宙飞船问题44

2.4.1 奇点的转移44

2.4.3 热弹性表面波46

2.4.4 转点问题49

2.5 坐标系的作用50

练习54

第三章 伸缩坐标法57

3.1 伸缩参数的方法59

3.1.1 Lindstedt-Poincaré方法59

3.1.2 Mathieu方程的过渡曲线61

3.1.3 Mathieu方程的特征指数(Whittaker方法)63

3.1.4 三体椭圆限制问题中三角点的稳定性66

3.1.5 三体椭圆限制问题中三角点的特征指数68

3.1.6 一个简单的线性特征值问题71

3.1.7 一个拟线性特征值问题74

3.1.8 拟线性的Klein-Gordon方程78

3.2 Lighthill技巧80

3.2.1 一个一阶微分方程82

3.2.2 一维地球-月球-宇宙飞船问题85

3.2.3 实心圆柱在静止空气中的均匀膨胀86

3.2.4 薄翼的超音速绕流90

3.2.5 使用精确特征的展开式--非线性弹性波93

3.3 Temple技巧97

3.4.1 Duffing方程99

3.4 重正化技巧99

3.4.2 弱非线性不稳定的一个模型100

3.4.3 薄翼的超音速绕流101

3.4.4 奇点的移动102

3.5 伸缩坐标方法的局限性102

3.5.1 弱非线性不稳定的一个模型104

3.5.2 小参数乘最高阶导数105

3.5.3 地球-月球-宇宙飞船问题106

练习107

第四章 匹配渐近展开和复合渐近展开的方法113

4.1 匹配渐近展开的方法114

4.1.1 引言--Prandtì的技巧114

4.1.2 高阶近似和匹配方法的改进117

4.1.3 一个二阶变系数方程125

4.1.4 滑动轴承的雷诺方程128

4.1.5 受预应力环形板的非对称弯曲131

4.1.6 热弹性表面波136

4.1.7 地球-月球-宇宙飞船问题139

4.1.8 球体的小雷诺数绕流142

4.2 复合展开的方法147

4.2.1 一个二阶常系数方程148

4.2.2 一个二阶变系数方程151

4.2.3 一个热方程的初边值问题153

4.2.4 复合展开方法的局限性156

练习157

第五章 参数变易及平均法161

5.1 参数变易161

5.1.1 Schr？dinger方程的依赖于时间的解162

5.1.2 非线性稳定的一例164

5.2 平均法166

5.2.1 van der Pol技巧166

5.2.2 Krylov-Bogoliubov技巧167

5.2.3 推广的平均法170

5.3 Struble技巧173

5.4 Krylov-Bogoliubov-Mitropolski技巧175

5.4.1 Duffing方程176

5.4.2 van der Pol振荡器178

5.4.3 Klein-Gordon方程179

5.5 运用正则变量的平均法181

5.5.1 Duffing方程184

5.5.2 Mathieu方程185

5.5.3 弹簧摆187

5.6 von Zeipel过程191

5.6.1 Duffing方程193

5.6.2 Mathieu方程196

5.7 用李级数和李变换的平均法203

5.7.1 李级数和李变换204

5.7.2 一般的算法205

5.7.3 一般算法的简化209

5.7.4 程序的梗概211

5.7.5 正则系统的算法214

5.8 用拉格朗日函数的平均法219

5.8.1 一个色散波的模型220

5.8.2 波-波相互影响的一个模型222

5.8.3 非线性Klein-Gordon方程224

练习226

6.1 方法的叙述231

第六章 多重尺度方法231

6.1.1 多变量变型(导数展开方法)240

6.1.2 两个变量的展开方法244

6.1.3 推广方法--非线性尺度245

6.2 导数展开方法的应用248

6.2.1 Duffing方程248

6.2.2 van der Pol振荡器250

6.2.3 van der Pol方程的强迫振荡253

6.2.4 参数共振--Mathieu方程258

6.2.5 具有迟滞振幅限制的van der Pol振荡器263

6.2.6 在椭圆限制三体问题中三角点的稳定性266

6.2.7 一个摆动弹簧268

6.2.8 弱非线性不稳定的一个模型271

6.2.9 波-波相互作用的一个模型273

6.2.10 导数展开方法的局限性276

6.3 两变量展开方法277

6.3.1 Duffing方程277

6.3.2 van der Pol振荡器280

6.3.3 在椭圆限制三体问题中三角点的稳定性283

6.3.4 这个方法的局限性283

6.4 推广方法284

6.4.1 具有变系数的二阶方程284

6.4.2 具有变系数的一般二阶方程288

6.4.3 具有慢变恢复力的线性振荡器290

6.4.4 具有一个转点的例子292

6.4.5 具有慢变系数的Duffing方程295

6.4.6 重返大气层动力学299

6.4.7 地球-月球-宇宙飞船问题303

6.4.8 色散波的一个模型307

6.4.9 非线性Klein-Gordon方程309

6.4.10 推广方法的优点及局限性311

练习312

第七章 线性方程的渐近解316

7.1.1 非正则奇点近旁的展开317

7.1 二阶微分方程317

7.1.2 零阶贝塞耳函数对大变量的展开320

7.1.3 Liouville问题322

7.1.4 含大参数方程的高阶近似323

7.1.5 小参数乘最高阶导数325

7.1.6 具有慢变系数的齐次问题326

7.1.7 重返大气层导弹动力学328

7.1.8 具有慢变系数的非齐次问题329

7.1.9 逐次Liouville-Green(WKB)近似332

7.2 一阶常微分方程组333

7.2.1 非正则奇点附近的展开334

7.2.2 方程组的渐近分块335

7.2.3 次正规解339

7.2.4 含有参数的方程组340

7.2.5 带有慢变系数的齐次方程组341

7.3 转点问题343

7.3.1 渐近展开的匹配方法344

7.3.2 Langer变换348

7.3.3 双转点问题350

7.3.4 高阶转点问题354

7.3.5 高阶近似354

7.3.6 带有一个简单转点的一个非齐次问题--首阶近似360

7.3.7 带有一个简单转点的一个非齐次问题--高阶近似362

7.3.8 带有一个二阶转点的非齐次问题365

7.3.9 含奇点的转点问题366

7.3.10 高阶的转点问题368

7.4 波方程369

7.4.1 Born或Neumann展开及Feynman图370

7.4.2 重正化方法376

7.4.3 Rytov方法381

7.4.4 一个几何光学近似382

7.4.5 在焦散的一致展开式386

7.4.6 光顺方法389

练习391

文献与作者索引395