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绪论1

第一章 Fourier变换17

§1．Fourier积分与Fourier变换17

§2．Mellin变换的反转公式19

§3．Laplace变换的反转公式20

第二章 求和公式22

§1．Abel分部求和法22

§2．Euler-MacLaurin求和法24

§3．Poisson求和法29

习题35

§1．无穷乘积39

第三章 Г函数39

§2．Г函数的基本性质43

§3．Stirling公式49

习题55

第四章 几个函数论定理57

§1．Jensen定理57

§2．Borel-Caratheodory定理60

§3．Hadamard三圆定理62

§4．Phragmen-Lindelof定理63

第五章 有穷阶整函数67

§1．有穷阶整函数67

§2．收敛指数与典型乘积69

§3．Hadamard因式分解定理74

§1．定义与收敛性79

第六章 Dirichlet级数79

§2．唯一性定理85

§3．常义Dirichlet级数的运算86

§4．常义Dirichlet级数的Euler乘积表示92

§5．常义Dirichlet级数的Perron公式96

§6．在垂直线上的阶106

§7．积分均值公式109

习题110

第七章 ζ(s)的函数方程与基本性质123

§1．函数方程(一)(Euler-MacLaurin求和法)123

§2．函数方程(二)(复变积分方法)130

§3．函数方程(三)(Poisson求和法)134

§4．在s=1附近的性质137

§5．最简单的阶估计139

习题143

第八章 ζ (s)/ζ(s)的零点展开式156

§1．ζ(s)和ζ(s)的无穷乘积156

§2．ζ (s)/ζ(s)和ζ (s)/ζ(s)的零点展开式157

§3．非显然零点的简单性质160

§4．零点展开式的简化162

§5．logζ(s)164

习题166

第九章 ζ(s)的非显然零点的个数168

§1．基本关系式168

§2．渐近公式(一)169

§3．渐近公式(二)171

§4．S(T)的性质175

习题179

第十章 ζ(s)的非零区域182

§1．ζ(1+it)≠0182

§2．非零区域(一)(整体方法)184

§3．非零区域(二)(局部方法)186

习题193

第十一章 素数定理196

§1．问题的提出和进展196

§2．ψ(x)的表示式199

§3．素数定理202

§4．Ω定理205

习题209

§1．划时代的论文216

第十二章 Riemann的贡献216

§2．Riemann猜想219

§3．Riemann猜想的推论及等价命题222

习题226

第十三章 Dirichlet特征229

§1．定义与基本性质229

§2．原特征236

§3．Gauss和243

§4．简单的特征和估计247

习题251

第十四章 L(s，X)的函数方程与基本性质258

§1．定义与最简单的性质258

§2．函数方程260

§3．最简单的阶估计267

习题270

第十五章 L (s，X)/L(s,X)的零点展开式272

§1．ζ(s，X)和L(s，X)的无穷乘积272

§2．L(s，X)/L(s，X)的零点展开式273

§3．非显然零点的简单性质275

§4．logL(s，X)276

习题277

第十六章 L(s，X)的非显然零点的个数278

§1．基本关系式278

§2．渐近公式279

§3．一点说明280

习题280

§1．非零区域(一)281

第十七章 L(s，X)的非零区域281

§2．Page定理295

§3．Siegel定理299

§4．非零区域(二)303

习题304

第十八章 算术数列中的素数定理307

§1．ψ(X，x)的表示式307

§2．算术数列中的素数定理313

习题317

第十九章 线性素变数三角和估计319

§1．Вйиоградов方法320

§2．Vaughan方法327

§3．零点密度方法332

§4．复变积分法337

§5．小q情形的估计344

习题347

第二十章 Goldbach猜想353

§1．Goldbach问题中的圆法354

§2．三素数定理(非实效方法)358

§3．三素数定理(实效方法)364

§4．Goldbach数368

习题376

第二十一章 Weyl指数和估计(一)(van der Corput方法)379

§1．基本关系式380

§2．基本估计式387

§3．基本不等式390

§4．Weyl和估计393

§5．反转公式395

§6．指数对理论403

习题410

第二十二章 Weyl指数和估计(二)(Вйиоградов方法)412

§1．指数和的均值估计412

§2．Weyl和估计(a)424

§3．Weyl和估计(b)428

习题435

第二十三章 ζ(s)与L(s，X)的渐近公式442

§1．ζ(s，a)的渐近公式(一)442

§2．L(s，X)的渐近公式447

§3．ζ(s，a)的渐近公式(二)452

§4．ζ(s，a)的渐近公式(三)461

§5．另一种类型的渐近公式472

习题475

第二十四章 ζ(s)与L(s，X)的阶估计477

§1．ζ(s，a)的阶估计477

§2．L(s，X)的阶估计485

习题491

第二十五章 ζ(s)与L(s，X)的积分均值定理492

§1．ζ(s，a)的二次积分均值定理(一)493

§2．ζ(s，a)的二次积分均值定理(二)502

§3．L(s，X)的二次积分均值定理509

§4．ζ(s)的四次积分均值定理512

习题520

第二十六章 Waring问题522

§1．Waring问题中的圆法525

§2．基本区间上的积分的渐近公式526

§3．完整三角和估计531

§4．奇异级数536

§5．奇异积分541

§6．余区间上的积分的估计542

§7．解数的渐近公式543

§8．G(k)的上界估计的改进544

习题548

第二十七章 Dirichlet除数问题558

§1．问题与研究方法558

§2．第一种方法561

§3．第二种方法568

习题573

第二十八章 大筛法577

§1．大筛法的分析形式578

§2．Gallagher方法579

§3．对偶原理的应用(一)582

§4．对偶原理的应用(二)590

§5．大筛法的算术形式600

§6．Brun-Titchmarsh定理的改进607

习题615

第二十九章 Dirichlet多项式的均值估计621

§1．大筛法型的特征和估计621

§2．Dirichlet多项式的混合型均值估计629

§3．ζ(s)与L(s，X)的四次均值估计636

§4．Halasz方法643

习题650

第三十章 零点分布(一)652

§1．方法概述653

§2．零点密度定理660

§3．零点密度定理的改进665

§4．ζ函数的零点密度定理的进一步改进668

§5．小区间中的素数分布673

习题677

第三十一章 算术数列中素数的平均分布678

§1．问题的转化679

§2．第一个证明(零点密度方法)683

§3．第二个证明(复变积分法)685

§4．第三个证明(Vaughan方法)690

习题696

§1．基本知识698

第三十二章 筛法698

§2．组合筛法的基本原理710

§3．最简单的Brun筛法716

§4．Brun筛法722

§5．Rosser筛法732

§6．Selberg上界筛法765

习题787

第三十三章 零点分布(二)801

§1．一个渐近公式802

§2．Линник零点密度定理819

§3．Deuring-Heilbronn现象842

第三十四章 算术数列中的最小素数856

§1．问题的转化857

§2．定理的证明860

第三十五章 Dedekindη函数867

§1．函数方程(一)867

§2．Dedekind和874

§3．函数G(z，s)879

§4．函数方程(二)887

习题890

第三十六章 无限制分拆函数892

§1．无限制分拆函数p(n)892

§2．p(n)的上界及下界估计896

§3．p(n)的渐近公式900

§4．p(n)的级数展开式907

参考书目913