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序言1

第一章 实数1

1.实数集合及其有序化1

1.前言1

2.无理数定义2

3.实数集合的有序化5

4.实数的无尽十进小数的表示法7

5.实数集合的连续性9

6.数集合的界11

7.实数的和的定义及其性质14

2.实数的四则运算14

8.对称数·绝对值15

9.实数的积的定义及其性质17

3.实数的其他性质及其应用19

10.根的存在性 具有有理指数的乘幂19

11.具有任何实数的乘幂20

12.对数22

13.线段的测量23

第二章 单变量的函数26

1.函数概念26

14.变量26

15.变量的变域27

16.变量间的函数关系 例题28

17.函数概念的定义29

18.函数的解析表示法32

19.函数的图形34

20.以自然数为变元的函数36

21.历史的附注38

2.几类最重要的函数40

22.初等函数40

23.反函数的概念43

24.反三角函数45

25.函数的迭置 结束语49

31.无穷大量50

27.数的序列51

第三章 极限论51

26.历史的说明51

1.函数的极限51

28.序列的极限定义53

29.无穷小量54

30.例56

32.函数的极限定义61

33.函数的极限的另一定义63

34.例65

35.单侧极限71

36.具有有限的极限的自然数变元的函数的性质72

2.关于极限的定理72

37.推广到任意变量的函数情形74

38.在等式与不等式中取极限76

39.关于无穷小量的预备定理78

40.变量的算术运算79

41.未定式81

42.推广到任意变量的函数情形84

43.例85

3.单调函数89

44.自然数变元的单调函数的极限89

45.例91

46.关于区间套的预备定理93

47.在一般情形下单调函数的极限94

4.数e96

48.数e看作序列的极限96

49.数e的近似计算法98

50.数e的基本公式 自然对数100

5.收敛原理102

51.部分序列102

52.以自然数为变元的函数其有限的极限的存在条件105

53.任何变元的函数具有有限极限的存在条件107

6.无穷小量与无穷大量的分类108

54.无穷小量的比较108

55.无穷小量尺度110

56.等价的无穷小量111

57.无穷小量的主部的分离113

58.应用问题114

59.无穷大量的分类115

第四章 单变量的连续函数117

1.函数的连续性(与间断点)117

60.函数在一点处的连续性的定义117

61.单调函数的连续性的条件119

62.连续函数的算术运算121

63.初等函数的连续性121

64.连续函数的迭置123

65.几个极限的计算124

66.幂-指数表达式126

67.间断点的分类·例子127

2.连续函数的性质129

68.关于函数取零值的定理129

69.应用于解方程132

70.关于中间值的定理132

71.反函数的存在性134

72.关于函数的有界性的定理136

73.函数的最大值与最小值137

74.一致连续性的概念139

75.关于一致连续性的定理141

76.动点速度的计算问题143

1.导数及其计算143

第五章 单变量函数的微分法143

77.作曲线的切线的问题145

78.导数的定义147

79.计算导数的例151

80.反函数的导数154

81.导数公式汇集156

82.函数增量的公式157

83.计算导数的几个最简单法则158

84.复合函数的导数160

85.例162

86.单侧导数164

87.无穷导数165

88.特殊情况的例子166

2.微分167

89.微分的定义167

90.可微性与导数存在之间的关系168

91.微分的基本公式及法测170

92.微分形式的不变性172

93.微分作为近似公式的来源173

94.微分在估计误差中的应用174

3.高阶导数及高阶微分176

95.高阶导数的定义176

96.任意阶导数的普遍公式178

97.莱布尼兹公式180

98.高阶微分182

99.高阶微分形式不变性的破坏183

第六章 微分学的基本定理186

1.中值定理186

100.费马定理186

101.罗尔定理187

102.有限增量定理189

103.导数的极限191

104.有限增量定理的推广192

2.戴劳公式193

105.多项式的戴劳公式193

106.任意函数的展开式195

107.余项的其他形式199

108.巳得的公式在初等函数上的应用202

109.近似公式·例204

第七章 应用？数来研究函数207

1.函数的变化过程的研究207

110.函数为常数的条件207

111.函数为单调的条件208

112.极大及极小 必要条件210

113.第一法则211

114.第二法则214

115.函数的作图215

116.例216

117.高阶导数的应用219

2.函数的最大值及最小值221

118.最大值及最小值的求法221

119.问题222

3.未定式的定值法224

120.？型未定式224

121.？型未定式227

122.其他类型的未定式229

第八章 多元函数232

1.基本概念232

123.变量之间的函数关系 例232

124.二元函数及其定义区域233

125.m维算术空间236

126.m维空间中的区域举例239

127.开区域及闭区域的一般定义241

128.m元函数243

129.多元函数的极限244

130.例247

131.累次极限248

2.连续函数251

132.多元函数的连续性及间断251

133.连续函数的运算253

134.关于函数取零值的定理254

135.波尔察诺-维尔斯德拉斯辅助定理256

136.关于函数有界性的定理257

137.一致连续性258

第九章 多元函数的微分学261

1.多元函数的导数与微分261

138.偏导数261

139.函数的全增量262

140.复合函数的导数265

141.例267

142.全微分268

143.一阶微分形式的不变性270

144.全微分在近似计算中的应用272

145.齐次函数274

2.高阶导数和微分277

146.高阶导数277

147.关于混合导数的定理278

148.高阶微分281

149.复合函数的微分283

150.戴劳公式285

3.极值、最大与最小值287

151.多元函数的极值 必要条件287

152.静止点的研究(二元函数的情况)288

153.函数的最大与最小值 例子292

154.问题294