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第1章 绪论1

1.1 动力系统的基本含义2

1.2 力学发展的各阶段的特征2

1.3 力学学科概述5

1.3.1 力学学科的性质6

1.3.2 力学与人类生产活动的关系6

1.3.3 力学学科的分类9

1.4 20世纪下半叶力学学科的发展特征20

1.4.1 深入研究非线性问题20

1.4.2 发展宏微观结合的研究方法21

1.4.3 学科的交叉与融合21

1.5 经典力学科学方法的研究与分析24

1.5.1 两大力学体系的比较26

1.5.2 经典力学的研究方法分析29

1.5.3 获得力学知识的科学方法31

第2章 微积分与微分方程基础40

2.1 微积分的起因和内容40

2.1.1 加速度、速度和位置40

2.1.2 微积分在单摆运动中的应用42

2.2 偏微分方程45

2.2.1 偏导数的定义45

2.2.2 弦振动方程46

2.2.3 扩散方程50

2.2.4 从实数看复导数52

2.2.5 柯西-黎曼方程到拉普拉斯方程54

2.3 微积分与几何结合54

2.3.1 切向量与法向量54

2.3.2 梯度、散度和旋度57

2.3.3 面积分与体积分57

2.3.4 拉普拉斯方程和泊松方程63

2.4 非线性特性66

2.4.1 关于流体运动的纳维-斯托克斯方程66

2.4.2 微分方程的扰动68

第3章 微分动力系统基础73

3.1 微分方程理论产生的总体背景73

3.2 常微分方程理论的扩展概况76

3.2.1 偏微分方程存在性定理的发展76

3.2.2 特殊函数理论76

3.2.3 斯图姆-刘维尔理论81

3.2.4 方程解析理论83

3.2.5 常微分方程定性理论84

3.2.6 常微分方程运动稳定性理论85

3.3 从求通解到考虑定解问题的原因探析86

3.3.1 欧拉方法的形成86

3.3.2 求通解面临的困惑87

3.3.3 从求通解到求解的性质的转变88

3.4 存在性定理的诞生92

3.4.1 柯西的突出贡献92

3.4.2 第一种方法——欧拉近似积分法93

3.4.3 第二种方法——优方法96

3.4.4 第三种方法——逐次逼近法100

3.5 偏微分方程的来源与发展101

3.5.1 偏微分方程问题的来源以及模型的建立101

3.5.2 偏微分方程的发展过程及特点102

3.5.3 偏微分方程的适定性问题105

3.5.4 偏微分方程的发展趋势109

3.5.5 存在性定理的证明的历史启示109

3.5.6 常微分方程与偏微分方程概念的区分111

3.6 常微分方程定性理论与稳定性理论的哲学思考111

3.6.1 几何方法研究微分方程的定性理论112

3.6.2 稳定性理论是定性理论的延伸和发展114

3.6.3 定性理论与稳定性理论的关系114

3.6.4 由定性理论与稳定性理论引发的思考116

3.7 不求出解的定性方法117

3.7.1 解微分方程意味着什么118

3.7.2 相空间与轨道119

3.7.3 画出相空间轨道图120

3.7.4 不动点附近的一般流形123

3.7.5 猎食方程125

3.7.6 相互竞争的食草动物126

第4章 约束的研究128

4.1 体系运动的多维空间描述128

4.1.1 笛卡儿位形空间128

4.1.2 事件空间130

4.1.3 状态空间133

4.1.4 状态时间空间134

4.1.5 状态空间轨道的一般理论134

4.2 约束的某些数学性质137

4.2.1 几何约束138

4.2.2 普法夫约束139

4.2.3 普法夫约束的可积性定理140

4.2.4 普法夫约束的大范围性质分析147

4.2.5 约束数学方程与约束流形的一般讨论153

4.2.6 纯非完整系统与可达性156

4.2.7 不等式约束159

4.3 约束的可能变元及其微变空间160

4.3.1 可能位形及其微变空间161

4.3.2 可能速度及其微变空间161

4.3.3 可能加速度及其微变空间162

4.3.4 一阶约束的微变线性空间163

4.3.5 高阶约束微变线性空间的一般理论164

4.3.6 状态空间一阶线性约束组完整性判别定理167

4.3.7 状态空间一阶非线性约束组的完整性与非完整性168

4.4 约束的力学性质175

4.4.1 约束力175

4.4.2 约束力的虚功177

4.4.3 理想约束假定180

4.4.4 约束力在微变空间上的作用181

4.4.5 理想约束力下的约束力182

4.4.6 理想约束下的约束力184

4.4.7 第一类拉格朗日方程184

4.4.8 平衡问题185

第5章 几类动力学系统之间的演化关系187

5.1 从牛顿力学到伯克霍夫力学187

5.1.1 牛顿力学188

5.1.2 拉格朗日力学189

5.1.3 哈密顿力学190

5.1.4 非完整力学191

5.1.5 伯克霍夫力学192

5.2 从牛顿力学到拉格朗日力学的理性转变194

5.2.1 牛顿体系的思想基础194

5.2.2 矢量方法与标量方法194

5.2.3 变分法与力学195

5.2.4 最小作用原理与拉格朗日196

5.2.5 广义坐标197

5.2.6 拉格朗日运动方程——分析力学的基本方程197

5.2.7 分析力学的重大意义198

5.3 牛顿力学与拉格朗日力学的相关性200

5.3.1 一般曲线运动问题和约束问题中两种理论运用的差异性200

5.3.2 力学规律的比较200

5.3.3 理论研究的切入点的比较201

5.4 从拉格朗日到哈密顿的分析力学203

5.5 伯克霍夫系统动力学205

5.5.1 伯克霍夫方程和普法夫-伯克霍夫原理206

5.5.2 完整力学系统的伯克霍夫动力学207

5.5.3 非完整力学系统的伯克霍夫动力学208

5.5.4 伯克霍夫系统的积分理论208

5.5.5 伯克霍夫系统动力学逆问题210

5.5.6 伯克霍夫系统的运动稳定性211

5.5.7 伯克霍夫系统的代数和几何描述211

5.6 哈密顿原理的四种表达形式及其相互关系213

5.6.1 基本哈密顿原理的四种表达形式213

5.6.2 哈密顿原理四种表达形式的特征215

5.6.3 哈密顿原理四种表达形式的异同218

5.7 梯度系统与广义哈密顿系统219

5.7.1 梯度系统219

5.7.2 力学系统的梯度表示219

5.7.3 力学系统的稳定性221

5.7.4 广义哈密顿系统与梯度系统221

5.8 动力学逆问题的提法和解法224

5.8.1 六个经典的动力学逆问题224

5.8.2 动力学逆问题的三种提法和解法226

5.8.3 各种逆问题的解法227

5.8.4 动力学逆问题的若干研究方向230

5.9 经典力学的历史贡献与启示231

5.9.1 牛顿力学231

5.9.2 拉格朗日力学232

5.9.3 哈密顿力学235

5.9.4 非完整力学237

5.9.5 伯克霍夫力学239

第6章 力学的变分原理241

6.1 分析动力学的普遍原理与高斯原理242

6.1.1 分析动力学的普遍原理242

6.1.2 力学系统运动的拘束函数243

6.1.3 高斯原理244

6.1.4 由高斯原理导出的其他原理244

6.1.5 约束力基本方程245

6.1.6 约束的力学本构特性247

6.1.7 代数型本构特性，高斯-阿佩尔-切塔耶夫模型248

6.1.8 动态型内变量的约束本构特性250

6.1.9 以微分变分原理为基础的动力学特解的时间步进求解法252

6.2 关于广义的达朗贝尔-拉格朗日原理255

6.3 关于变分的某些说明258

6.3.1 位形的虚变分和虚速度258

6.3.2 广义坐标的自由等时变分与非自由等时变分259

6.3.3 广义坐标的非等时虚变分262

6.3.4 沃斯变分263

6.3.5 端点条件264

6.3.6 函数与泛函的变分265

6.4 哈密顿原理267

6.4.1 哈密顿原理的一般形式267

6.4.2 完整系统的哈密顿原理269

第7章 动力学问题求解方法271

7.1 线弹性动力学变分原理271

7.1.1 加权余量法271

7.1.2 达朗贝尔-拉格朗日原理274

7.1.3 哈密顿原理275

7.1.4 约束条件的施加方法281

7.1.5 广义变分原理284

7.2 系统的特征值问题285

7.3 冲击动力学问题的有限元模拟289

7.3.1 网格描述291

7.3.2 连续介质力学基础294

7.4 并行计算307

7.4.1 并行计算和并行机308

7.4.2 任务分配309

7.4.3 MPI并行库311

7.5 无网格法312

第8章 平衡的稳定性与运动的稳定性324

8.1 平衡位置的稳定性324

8.2 运动稳定性的一般概念327

8.3 李雅普诺夫函数与李雅普诺夫关于稳定性的定理330

8.4 刚体绕固定点转动及陀螺仪的运动稳定性问题334

8.5 关于不稳定性的定理341

8.6 线性系统的稳定性与按线性近似来决定的稳定性343

8.7 车辆行驶的运动稳定性344

8.8 KAM理论与哈密顿系统的动力学稳定性问题346

8.9 20世纪80年代我国的运动稳定性研究354

8.9.1 力学系统的稳定性354

8.9.2 控制系统的稳定性356

8.9.3 人口系统、生态系统的稳定性358

8.9.4 大系统的稳定性359

8.9.5 运动稳定性的一般理论361

第9章 对称哈密顿系统中相对平衡点的稳定性363

9.1 相关基础366

9.1.1 动力系统和哈密顿动力系统366

9.1.2 系统的平衡点与稳定性368

9.1.3 对称哈密顿系统372

9.2 对称哈密顿系统中正则相对平衡点的稳定性375

9.2.1 对称哈密顿系统的正则点约化375

9.2.2 正则相对平衡点的稳定性及能量-动量方法376

9.2.3 能量-动量方法分块对角化的实现378

9.2.4 能量-动量方法与能量-开西米尔方法之间的关系379

9.3 对称哈密顿系统中奇异相对平衡点的稳定性380

9.3.1 对称哈密顿系统的奇异点约化381

9.3.2 奇异相对平衡点的Gμ稳定性383

9.3.3 稳定型的分块对角化385

9.4 相对平衡点稳定性结果的应用387

9.4.1 几何恰当杆模型的稳定性分析388

9.4.2 睡拉格朗日陀螺的稳定性394

9.5 本章小结398

第10章 稳定性问题的经济性研究400

10.1 稳定经济性与经济稳定性之间的对偶联系401

10.2 控制系统中稳定性与经济性之间的理论联系402

10.3 动力系统稳定性的经济性认识点滴407

10.4 动力系统稳定性的生活性认识点滴414

参考文献421

附录425

A．微分方程定性理论诞生的启示425

B．动力学与运动学的区别427

C．耗散性与无源性428

D．动力系统的动力来源是什么？429

E．与经济相关的词条430

F．等价未必等效434

G．复杂系统和复杂网络的关系435

H．波粒二象性437