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第1章　导言——写在前面1

1.1　本书的函数论2

1.1.1　函数的代数意义2

1.1.1.1 函数的定义2

1.1.1.2　初等函数4

1.1.2　函数的几何意义4

1.1.2.1 笛卡儿的贡献4

1.1.2.2　极坐标8

1.1.3　函数的基本性质9

1.1.3.1 有界性10

1.1.3.2 周期性10

1.1.3.3　奇偶性10

1.1.3.4　单调性10

1.1.3.5　显隐性11

1.1.4　函数的简单衍生11

1.1.4.1　反函数11

1.1.4.2 复合函数12

1.1.4.3 多元函数13

1.1.5　矢量函数14

1.1.5.1 矢量表示14

1.1.5.2 矢量运算14

1.1.5.3 场论初步19

1.1.6　本书基本问题的提出21

章末小阅读：寻觅大学精神，探索人文之路——读蔡元培先生《就任北京大学校长之演说》有感28

第2章　感性认识——微积分起源34

2.1　古代微积分思想的萌芽35

2.1.1　微积分的哲学思想35

2.1.2　刘徽的“割圆术”36

2.2　微积分创立的社会背景39

2.2.1 中世纪思想禁锢和大学的艰难发展39

2.2.2　文艺复兴运动和思想的解放41

2.2.3　资产阶级革命和生产力的发展42

2.3　先驱者的贡献44

2.3.1　微分的思想45

2.3.2　积分的思想48

章末小阅读：为什么微积分没有在中国产生54

第3章 感性跨越——站在巨人的肩膀上59

3.1　牛顿的微积分60

3.1.1　“独处”成就了牛顿，牛顿验证了“独处”60

3.1.2　牛顿的微积分著作简介61

3.1.3　牛顿的其他成就64

3.2　莱布尼茨的微积分65

3.2.1　博览群书，广交英才66

3.2.2　莱布尼茨微积分思想的来源67

3.2.3　“古怪的”微积分论文70

3.2.4　莱布尼茨的其他贡献72

3.2.5　莱布尼茨和牛顿73

3.3　极限初步75

3.3.1　极限的四则运算法则和夹挤原理75

3.3.2　几类很重要的极限76

3.4　导数78

3.4.1　导数的本质78

3.4.2　可导的条件80

3.4.3　用定义求导数81

3.4.4　四则运算求导法则82

3.4.5　复合函数求导法则83

3.4.6　初等函数的求导问题84

3.4.7　函数领域的“不倒翁”85

3.4.8　导数的几何意义与最值初步86

3.4.9　偏导数及其简单应用88

3.4.9.1　偏导数的意义88

3.4.9.2　隐函数求导90

3.4.9.3 曲线的切线与法平面91

3.4.9.4 曲面的切平面与法线92

3.4.9.5　正交曲面坐标系94

3.5　再议最值97

3.5.1　多元函数的最值97

3.5.2　条件极值98

3.6　微积分的本质99

3.6.1　什么是微分100

3.6.2　微分和导数的区别及微分简单应用101

3.6.2.1　微分和导数的区别101

3.6.2.2　微分的简单应用102

3.6.3　什么是积分103

3.6.3.1　微积分基本原理103

3.6.3.2 不定积分104

3.6.3.3　定积分105

3.6.4　微积分的精髓106

3.6.5　微积分的基本方法107

3.7　积分的算法109

3.7.1　凑微分法110

3.7.2　换元积分法112

3.7.3　分部积分法114

3.7.4　综合积分法115

3.7.5　极限积分法117

3.8　微分方程初步117

3.8.1　可分离变量微分方程118

3.8.1.1 引例118

3.8.1.2 可分离变量微分方程的一般解法118

3.8.2　一阶线性微分方程120

3.8.2.1 引例120

3.8.2.2　一阶线性微分方程的一般解法120

3.8.3　其他常见微分方程的一般解法121

3.8.3.1 齐次微分方程的一般解法122

3.8.3.2 可降阶高阶微分方程的一般解法122

章末小阅读：椭圆周长怎么计算124

第4章　走向理性——逼近无穷小129

4.1　第二次数学危机130

4.1.1　贝克莱悖论130

4.1.2　更加混乱的局面131

4.2　分析的算术化132

4.2.1　柯西的探索132

4.2.2　数学分析的集大成者——维尔斯特拉斯134

4.2.2.1　“兴趣是最好的老师”再次被应验134

4.2.2.2　艰苦造就天才，困难磨炼英雄135

4.2.2.3 无与伦比的大学数学教师136

4.2.2.4　神秘的ε-δ语言137

4.2.2.5　到底什么是无穷小138

4.2.2.6 处处连续但处处不可导函数存在吗140

4.3　级数的发展与成熟142

4.3.1　级数及其最初面临的困境142

4.3.2　用定义判定级数敛散性及其简单应用143

4.3.2.1 用定义判定级数敛散性143

4.3.2.2　柯西审敛原理相关推广144

4.3.2.3 莱布尼茨判别法及其相关推广146

4.3.3两　个关于等比级数的有趣问题148

4.3.3.1 0.9比1小吗148

4.3.3.2 阿基里斯是怎样追上乌龟的148

4.3.4　函数展开成幂级数150

4.3.4.1 中值定理150

4.3.4.2　泰勒公式153

4.3.4.3　泰勒公式的简单应用155

4.3.4.4　泰勒级数156

4.3.4.5　欧拉公式157

章末小阅读：傅立叶级数简介160

第5章　理性发展——走向成熟167

5.1　多元函数的积分168

5.1.1　重积分168

5.1.1.1 引例168

5.1.1.2　重积分的定义和性质169

5.1.1.3　重积分的计算171

5.1.2　曲线积分173

5.1.2.1　对弧长的曲线积分173

5.1.2.2　对坐标的曲线积分175

5.1.2.3 两类（型）曲线积分的联系176

5.1.3　曲面积分178

5.1.3.1　对面积的曲面积分178

5.1.3.2　对坐标的曲面积分180

5.1.3.3 两类（型）曲面积分的联系182

5.2　再议场论182

5.2.1　方向导数与梯度183

5.2.1.1 引言183

5.2.1.2　几何意义184

5.2.1.3　哈密顿算子187

5.2.1.4　物理意义188

5.2.2　通量与散度190

5.2.2.1　通量的回顾及其物理意义190

5.2.2.2　散度的几何意义192

5.2.2.3　散度公式之不严密推导193

5.2.2.4　基于微积分基本方法和原理的散度公式推导194

5.2.2.5　散度公式在其他正交曲面中的表示196

5.2.2.6 高斯定理的简单理解和奇妙推导197

5.2.2.7 高斯定理在平面域上的表示199

5.2.2.8 高斯定理的物理解释200

5.2.3　环量与旋度201

5.2.3.1 引例与环量201

5.2.3.2　类比方法理解旋度202

5.2.3.3　旋度的由来203

5.2.3.4　斯托克斯公式204

5.2.3.5　斯托克斯公式的物理解释205

5.3　再议微分方程206

5.3.1　线性齐次方程解的结构207

5.3.2　常系数线性微分方程209

5.3.2.1 常系数齐次线性微分方程的一般解法209

5.3.2.2　常系数非齐次线性微分方程的一般解法211

5.4　变分法简介215

5.4.1　变分法起源215

5.4.2　最简泛函的极值217

5.4.3　欧拉方程218

5.4.4　最值总结219

5.5　欧拉积分简介222

章末小阅读：任意N边形面积的计算及简单应用224

附录A　常用表229

A1　常见函数的导数表229

A2　常见函数的微分表230

A3　常见函数的积分表230

A4　常见函数的幂级数展开式232

附录B　本书练习题及参考答案——测验自己收获了多少234

B1　练习题234

B2　参考答案242

附录C　微积分学发展史大事年表252

附录D　本书中使用计算机软件的部分源程序及结果256

D1　“地图面积计算”C语言程序及结果256

D2　“椭圆周长计算”C语言程序及结果261

D3　“山峰”的MATLAB绘图源程序及结果263

附录E　微积分学部分中英文词汇对照265

后记267

参考文献272