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第1篇 高等数学题型1

第1章 极限和连续1

1.1 重要定理1

1.2 重要公式3

1.3 函数的极限4

题型1 无穷小的比较或确定无穷小的阶4

题型2 求未定式函数极限5

题型3 求分段函数在分界点的极限12

题型4 极限式中常数的确定13

1.4 数列的极限15

题型5 求各种类型（∞/∞型、1∞型、∞-∞型）的数列极限15

题型6 给出数列｛xn｝通项表达式，求极限limxn17

题型7 数列n项和Sn?ai，当n→∞时的极限19

题型8 n个因子乘积，当n→∞时的极限21

1.5 函数的连续性22

题型9 函数连续性的讨论22

题型10 确定函数的间断点及其类型23

1.6 杂例25

题型11 从含有f（x）及?limf（x）的方程中求解f（x）25

题型12 当x→0时，求含有e?，arctan?，arccot?，｜x｜的极限27

题型13 含f（x＋a）—f（x）的非?型极限式且f（x）可导28

第2章 导数与微分29

2.1 导数和微分的概念29

2.2 导数公式和运算法则30

2.3 重要定理31

2.4 与导数定义和性质有关的命题31

题型14 求含有抽象函数的?型极限31

题型15 与抽象函数的导数相关的命题34

题型16 判断函数的可导性36

2.5 各种函数的导数或微分37

题型17 求一元复合函数的导数或微分37

题型18 求一元隐函数的导数或微分37

题型19 求幂指函数的导数或微分39

题型20 求函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的函数的导数或微分40

题型21 求分段函数的导数或微分40

题型22 求简单函数的高阶导数43

第3章 不定积分47

3.1 不定积分47

3.2 三种基本积分方法48

3.3 不定积分中的概念56

题型23 与原函数相关的命题56

3.4 各种函数的不定积分57

题型24 求简单有理函数的不定积分57

题型25 简单无理函数的不定积分59

题型26 三角有理式的积分60

题型27 分段函数的不定积分63

题型28 含对数函数、反三角函数的不定积分65

题型29 复合函数的不定积分66

题型30 计算隐函数的不定积分67

第4章 定积分69

4.1 定积分的基本性质69

4.2 重要定理69

4.3 重要公式70

4.4 计算定积分的方法71

4.5 反常积分72

4.6 与定积分的定义和性质相关的命题74

题型31 定积分的估值74

题型32 变限积分的求导问题75

4.7 各种类型定积分的计算76

题型33 求分段函数的定积分76

题型34 求含有绝对值符号的定积分77

题型35 求被积函数中含有变上限积分的定积分78

题型36 求对称区间［一l，l］上的定积分79

题型37 求周期函数的定积分81

题型38 求被积函数的分母为两项，分子恰为其中一项的定积分82

题型39 求由三角有理式与初等函数通过四则运算、复合运算或变量代换所得式的定积分82

题型40 定积分等式的证明83

题型41 定积分不等式的证明87

4.8 反常积分91

题型42 反常积分的计算及收敛91

第5章 微分中值定理93

5.1 闭区间上连续函数的性质93

5.2 微分中值定理93

5.3 闭区间上连续函数的命题94

题型43 闭区间上连续函数命题的证明94

5.4 中值定理的应用98

题型44 证明给出的函数f（x）满足某中值定理98

题型45 证明某个函数恒等于一个常数的命题99

题型46 命题f（n）（ξ）=0的证明100

题型47 欲证结论：至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（n）（ξ）=k（k≠0）或由a，b，f（a），f（b），ξ，f（ξ），f′（ξ），…，f（n）（ξ）所构成的代数式成立101

题型48 欲证结论：在（a，b）内至少存在ξ，η（ξ77≠η)满足某个代数式104

第6章 一元微积分的应用106

6.1 重要定理和结论106

6.2 导数的应用106

题型49 一元函数单调增减性的判别106

题型50 一元函数极值的判定或求解109

题型51 求一元函数的最值及简单应用110

题型52 曲线的拐点或凹凸区间的判定或求解111

题型53 函数曲线的渐近线方程的计算与导数的判定112

6.3 方程的根114

题型54 方程根的存在性问题114

题型55 方程根的个数的研究115

题型56 方程根的唯一性问题116

6.4 定积分的应用118

题型57 利用微元法解题118

题型58 求平面图形的面积119

题型59 求旋转体体积121

第7章 常微分方程123

7.1 二阶线性微分方程解的性质123

7.2 二阶线性微分方程解的结构定理123

7.3 一阶微分方程的求解124

题型60 一阶可分离变量方程的求解124

题型61 一阶齐次微分方程的求解125

题型62 一阶线性微分方程的求解127

7.4 二阶或二阶以上微分方程的求解129

题型63 有关二阶常系数齐次线性或非齐次线性微分方程解的结构的命题129

题型64 求二阶常系数齐次线性或非齐次线性微分方程的通解130

题型65 微分方程的应用135

题型66 求一阶线性差分方程的通解或特解136

第8章 多元函数微分学138

8.1 连续、可微和可导的关系138

8.2 多元函数的极值138

8.3 多元函数微分139

题型67 有关二元函数定义域、极限、连续的计算题139

题型68 简单显函数z=f（x，y）偏导数的计算140

题型69 考查二元函数z=f（x…y）的连续、偏导及可微性141

题型70 多元复合函数偏导数的计算142

题型71 隐函数偏导数的计算147

题型72 多元函数全微分的计算150

8.4 多元函数的极值和最值151

题型73 求多元函数的极值151

题型74 求多元函数的最值154

第9章 二重积分156

9.1 二重积分的性质和定理156

9.2 二重积分的计算157

9.3 二重积分159

题型75 更换二重积分的积分次序159

题型76 选择积分次序160

题型77 积分区域关于坐标轴对称的二重积分162

题型78 分段函数的二重积分164

题型79 被积函数f（二，y）中含有绝对值符号的二重积分166

题型80 被积函数f（x，y）中含有最值符号max或min的二重积分167

题型81 二重积分等式的证明168

题型82 二重积分不等式的证明169

第10章 无穷级数171

10.1 基本性质171

10.2 级数的判敛法171

10.3 幂级数173

10.4 七个常见的函数展开式（必须熟记）174

10.5 与级数概念和性质相关的命题175

题型83 判别数项级数∑°n的敛散性，并附有“若收敛时，求其和”的命题175

题型84 利用级数敛散性的定义及性质，判断级数的敛散性176

10.6 级数敛散性的判别177

题型85 正项级数敛散性的判别177

题型86 交错级数?∑（一1）n-1un（un>0）敛散性的判别180

题型87 任意项级数敛散性的判别182

题型88 有关数项级数敛散性的证明185

题型89 给出函数f（、x）的某种条件，形如?∑f（n）的级数的敛散性的证明187

题型90 利用级数证明数列｛an｝极限的存在或求解某些特殊极限188

10.7 幂级数189

题型91 求幂级数的收敛域或收敛半径189

题型92 求函数在指定点的幂级数展开式191

题型93 无穷级数求和194

第11章 函数方程与不等式证明199

11.1 函数方程199

题型94 利用函数表示法与用什么字母表示无关的特性求函数方程199

题型95 利用极限求函数方程199

题型96 已知函数在一点的导数及函数方程，求函数方程200

题型97 已知函数方程中含有变上限积分，求函数方程200

题型98 已知函数连续，且函数式中含函数的定积分、极限或二重积分，求函数方程203

题型99 已知函数方程中含有偏导数条件，求函数方程204

11.2 不等式证明204

题型100 存在一个点ξ∈（a，b），使得不等式成立或不等式通过变形，一端可写成?或?的命题的证明204

题型101 在某一区间(a，b）不等式命题成立的证明205

题型102 文字不等式的证明207

题型103 函数f（x）二阶和二阶以上可导的不等式命题的证明208

题型104 杂例209

第12章 微积分在经济中的应用211

12.1 基本概念和公式211

12.2 复利问题212

题型105 与概念相关的问题212

题型106 一元函数微分学在经济中的应用（利润、价格等问题）213

题型107 复利问题216

题型108 一元积分学在经济中的应用216

题型109 二元函数微分学在经济中的应用（最值问题)217

题型110 微分方程在经济中的应用218

第2篇 线性代数题型219

第13章 行列式219

13.1 重要定理和性质219

13.2 重要结论219

题型111 与行列式的定义和性质相关的命题220

题型112 数值型行列式的计算221

题型113 行列式的余子式或代数余子式线性组合的计算226

题型114 计算抽象行列式228

第14章 矩阵231

14.1 矩阵的运算性质231

14.2 重要结论231

14.3 逆矩阵232

题型115 有关逆矩阵的计算问题232

题型116 矩阵可逆的证明235

14.4 矩阵的运算236

题型117 有关矩阵运算的命题236

题型118 求矩阵的行列式238

题型119 与伴随矩阵相关的命题240

14.5 初等矩阵241

题型120 有关初等变换和初等矩阵的命题241

第15章 向量244

15.1 重要结论244

15.2 内积和施密特正交化方法245

15.3 向量题型245

题型121 讨论向量组的线性相关性245

题型122 求向量组的极大线性无关组和秩249

题型123 有关向量组或矩阵的秩的计算与证明250

题型124 有关向量的线性表示的问题252

题型125 将向量组正交化256

第16章 线性方程组257

16.1 重要性质和定理257

16.2 有关线性方程组的题型258

题型126 有关线性方程组的基本概念题258

题型127 有关基础解系的命题259

题型128 线性方程组的求解260

题型129 矩阵方程的求解264

题型130 讨论两个线性方程组解之间的关系266

第17章 特征值与特征向量269

17.1 重要结论269

17.2 矩阵的特征值与特征向量270

题型131 求数值型矩阵的特征值与特征向量270

题型132 求抽象矩阵的特征值与特征向量272

题型133 特征值与特征向量的逆问题273

17.3 相似矩阵及其对角化275

题型134 相似矩阵的判定及其逆问题275

题型135 矩阵可对角化的判定及其逆问题276

题型136 有关实对称矩阵的命题277

第18章 二次型279

18.1 重要结论279

18.2 二次型题型279

题型137 二次型所对应的矩阵及其性质279

题型138 用正交变换法化二次型为标准型281

题型139 有关正定的判定285

第3篇 概率论与数理统计题型288

第19章 事件的概F率288

19.1 重要性质288

19.2 常用结论289

19.3 古典概型和几何概型290

题型140 古典概型的概率计算290

题型141 几何概型的概率计算291

19.4 概率的概念、性质及计算292

题型142 有关事件的独立性的命题292

题型143 利用逆事件概率公式P（A）=1一P（A）计算概率294

题型144 利用加法公式、乘法公式和条件概率公式计算概率294

题型145 利用全概率公式与贝叶斯公式计算概率297

题型146 利用事件的独立性和伯努利概型计算概率300

第20章 随机变量及其分布302

20.1 重要定理和结论302

20.2 一维随机变量及其分布302

题型147 与一维随机变量概念和性质相关的命题302

题型148 求离散型随机变量的分布律或分布函数304

题型149 求连续型随机变量的概率密度或分布函数306

题型150 由已知分布求概率或由已知概率求分布307

题型151 求一维随机变量函数的概率分布309

题型152 综合题313

第21章 多维随机变量及其分布315

21.1 重要结论315

21.2 二维随机变量及其分布315

题型153 与二维随机变量概念、性质有关的命题315

题型154 求二维随机变量的各种分布（分布律，边缘分布律，边缘分布密度）317

题型155 随机变量独立性的判别323

题型156 由已知分布求概率324

题型157 求二维随机变量函数的分布326

题型158 关于二维正态分布问题331

第22章 随机变量的数字特征334

22.1 重要性质和公式334

22.2 重要结论335

22.3 一维随机变量的数字特征335

题型159 求一维随机变量的数字特征335

题型160 求一维随机变量函数的数字特征或逆问题337

22.4 二维或多维随机变量的数字特征338

题型161 求二维随机变量及其函数的数字特征338

题型162 有关数字特征与独立性及相关性的关系的命题343

题型163 利用0一1分布求多维随机变量的数字特征345

题型164 综合应用题型346

第23章 大数定律和中心极限定理348

23.1 大数定律348

23.2 中心极限定理349

题型165 估算随机事件的概率349

题型166 与大数定律有关的命题353

题型167 试验次数n的确定353

第24章 数理统计356

24.1 常用统计量356

24.2 三个常见的抽样分布：X2分布、t分布和F分布356

24.3 正态总体条件下样本均值和样本方差的分布358

24.4 数理统计中的重要结论358

24.5 参数估计的重要结论359

24.6 统计量的基本概念359

题型168 求统计量的分布及概率359

题型169 求统计量的数字特征361

24.7 参数估计364

题型170 求参数的点估计（矩估计和最大似然估计）364