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引言1

第1章 数与集合3

1.1 集合3

1.2 映射，势5

1.3 自然数序列5

1.4 有限与可数集合9

1.5 分类11

第2章 群12

2.1 群的概念12

2.2 子群20

2.3 群子集的运算，陪集23

2.4 同构与自同构26

2.5 同态，正规子群，商群28

第3章 环与域32

3.1 环32

3.2 同态与同构39

3.3 商的构成39

3.4 多项式环42

3.5 理想，同余类环46

3.6 整除性，素理想50

3.7 Euclid环与主理想环51

3.8 因子分解55

第4章 向量空间和张量空间59

4.1 向量空间59

4.2 维数不变性61

4.3 对偶向量空间64

4.4 体上的线性方程组65

4.5 线性变换67

4.6 张量71

4.7 反对称双线性型与行列式73

4.8 张量积，缩并与迹77

第5章 多项式80

5.1 微分法80

5.2 多项式的零点81

5.3 内插公式83

5.4 因子分解87

5.5 不可约性判定标准90

5.6 因子分解在有限步下的完成93

5.7 对称函数94

5.8 两个多项式的结式97

5.9 结式作为根的对称函数100

5.10 有理函数的部分分式分解102

第6章 域论105

6.1 子体，素体105

6.2 添加107

6.3 单纯域扩张108

6.4 域的有限扩张112

6.5 域的代数扩张114

6.6 单位根118

6.7 Galois域（有限域）123

6.8 可分与不可分扩张126

6.9 完全域及不完全域131

6.10 代数扩张的单纯性，本原元素定理132

6.11 范数与迹133

第7章 群论续138

7.1 带算子的群138

7.2 算子同构和算子同态140

7.3 两个同构定理141

7.4 正规群列与合成群列142

7.5 pn阶群146

7.6 直积147

7.7 群的特征标150

7.8 交错群的单纯性154

7.9 可迁性与本原性156

第8章 Galois理论159

8.1 Galois群159

8.2 Galois理论的基本定理161

8.3 共轭的群、域与域的元素163

8.4 分圆域165

8.5 循环域与纯粹方程171

8.6 用根式解方程173

8.7 n次一般方程176

8.8 二次、三次与四次方程179

8.9 圆规与直尺作图185

8.10 Galois群的计算，具有对称群的方程188

8.11 正规基192

第9章 集合的序与良序197

9.1 有序集合197

9.2 选择公理与Zorn引理198

9.3 良序定理200

9.4 超限归纳法201

第10章 无限域扩张203

10.1 代数封闭域203

10.2 单纯超越扩域208

10.3 代数相关性与无关性211

10.4 超越次数214

10.5 代数函数的微分法216

第11章 实域222

11.1 有序域222

11.2 实数的定义225

11.3 实函数的零点233

11.4 复数域237

11.5 实域的代数理论239

11.6 关于形式实域的存在定理243

11.7 平方和246

索引248