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第一章 复数平面上的几何1

1．复数平面1

2．复平面上的几何学3

3．线性变换（M？bius变换）5

4．群与分群6

5．Neumann球9

6．交比10

7．圆对12

8．圆串（Pencil）14

9．圆族（Bundle）15

10．Hermite方阵17

11．变换分类21

12．广义线性群23

13．射影几何的基本定理25

第二章　非欧几何学27

1．欧几里得几何学（抛物几何学）27

2．球面几何学（椭圆几何学）28

3．椭圆几何的一些性质31

4．双曲几何（Lobachevskiǐ几何）32

5．距离33

6．三角形36

7．平行公理37

8．非欧运动分类38

第三章 解析函数、调和函数的定义及例子39

1．复变函数39

2．保角变换（或称共形映射）40

3．Cauchy-Riemann方程43

4．解析函数47

5．幂函数49

6．Zhukovskiǐ函数50

7．对数函数51

8．三角函数52

9．一般的幂函数54

10．保角变换的基本定理55

第四章　调和函数57

1．中值定理57

2．Poisson公式58

3．奇异积分62

4．Dirichlet问题63

5．上半平面的Dirichlet问题64

6．调和函数的展开式66

7．Neumann问题67

8．最大值最小值原理69

9．调和函数序列70

10．Schwarz引理71

11．Liouville定理73

12．保角变换的唯一性74

13．映进映射75

14．单连通域的Dirichlet问题75

15．单连通域的Cauchy公式77

第五章 点集论与拓扑学中的若干预备知识79

1．收敛79

2．紧致点集80

3．Cantor-Hilbert对角线法81

4．点集的类别82

5．映射或变换83

6．一致连续84

7．拓扑映射85

8．曲线86

9．连通性87

10．Jordan定理的特例88

11．连通数90

第六章　解析函数92

1．解析函数的定义92

2．一些几何概念94

3．Cauchy定理95

4．解析函数的微商98

5．Taylor级数100

6．Weierstrass重级数定理102

7．由积分定义解析函数106

8．Laurent级数107

9．零点，极点109

10．孤立奇点111

11．无穷远点的解析性113

12．Cauchy不等式115

13．解析延拓116

14．多值函数118

15．奇点的位置120

第七章 留数及其应用于定积分的计算123

1．留数123

2．有理函数沿圆周的积分124

3．由-∞到＋∞的某种积分125

4．某些包有正弦余弦的积分127

5．积分∫∞0xa-1Q(x)dx129

6．Γ函数131

7．Cauchy主值133

8．与动量问题有关的积分135

9．极点与零点的个数136

10．代数方程的根137

11．级数求和139

12．常系数线性微分方程140

13．Bürmann,Lagrange公式141

14．Poisson-Jensen公式143

第八章 最大模原理与函数族145

1．最大模原理145

2．Phragmen-Lindel？f定理147

3．Hadamard三圆定理147

4．关于｜f（z）｜均值的Hardy定理148

5．引理149

6．一般均值定理150

7．（Ip(r)）1/p151

8．Vitali定理152

9．囿函数族155

10．正规族156

第九章 整函数与亚纯函数158

1．定义158

2．Weierstrass分解定理160

3．整函数的阶161

4．Hadamard分解定理164

5．Mittag-Leffler定理165

6．ctg z与sin z的表示式166

7．Γ函数169

8．ζ函数172

9．函数方程174

10．球面收敛176

11．亚纯函数的正规族178

第十章　保角变换180

1．重要内容概要180

2．单叶函数182

3．Taylor级数求逆182

4．域的映像185

5．单叶函数序列186

6．边界与内部186

7．Riemann映射定理188

8．第二系数的估计189

9．推论192

10．Koebe之歪扭定理193

11．Littlewood的估计195

12．星形区196

13．实系数198

14．把三角形变为上半平面199

15．Schwarz反射原理202

16．把四边形变为上半平面203

17．Schwarz-Christoffel法——把多边形变为上半平面206

18．续208

19．补充211

第十一章　求和法212

1．Cesáro求和法212

2．H？lder求和法215

3．与均值有关的两条引理216

4．（C,k）与（H,k）等价性的证明218

5．（C,α）求和221

6．Abel求和法222

7．一般求和法简介223

8．Borel求和法224

9．Hardy-Littlewood定理228

10．Tauber定理231

11．在收敛圆圆周上的渐近性质233

12．Hardy-Littlewood定理235

13．Littlewood的Tauber定理239

14．解析性与收敛性242

15．Borel多角形245

第十二章 适合各种边界条件的调和函数249

1．引言249

2．Poisson方程251

3．双调和方程254

4．单位圆的双调和方程256

5．Cauchy型积分的背景257

6．Cauchy型积分259

7．Sokhotskiǐ公式260

8．Hilbert-Privalov问题263

9．续266

10．Riemann-Hilbert问题267

11．混合边界值问题解答的唯一性269

12．Keldysh-Sedov公式271

13．其他域的Keldysh-Sedov公式273

14．一个混合型偏微分方程276

第十三章　Weierstrass的椭圆函数论279

1．模279

2．周期函数281

3．周期整函数的展开式282

4．基域283

5．椭圆函数的一般性质284

6．代数相关性285

7．椭圆函数的两种理论286

8．Weierstrass γ函数287

9．γ（z）与γ′（z）的代数关系289

10．函数ζ（z）290

11．σ（z）函数291

12．椭圆函数的一般表达式293

13．加法公式295

14．椭圆函数的积分296

15．代数函数域298

16．反问题299

17．模变换300

18．基域302

19．基域纲306

20．模群之构造307

21．模函数的定义和性质308

22．J（τ）310

23．方程g2（w,w′）=a,g3（w,w′）=b的求解313

24．任一模函数是J（τ）的有理函数313

第十四章 Jacobi的椭圆函数317

1．θ函数317

2．θ函数的零点与无穷乘积的表达式319

3．G=∞∏n=1（1-q2n）321

4．用θ函数表椭圆函数324

5．诸θ函数的平方的关系式326

6．和差公式327

7．θ函数的商所适合的微分方程331

8．Jacobi的椭圆函数332

9．周期性333

10．解析性质334

11．Weierstrass函数与Jacobi函数之间的关系336

12．加法公式336

13．把K,K′表为k,k′的函数337

14．Jacobi椭圆函数的一些表达式339

15．附记340

名词索引346