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第7章 多元函数微分法及其应用1

7.1 多元函数1

7.1.1 平面点集1

7.1.2 多元函数的基本概念3

7.1.3 多元函数的极限5

7.1.4 多元函数的连续性8

7.2 偏导数11

7.2.1 偏导数的概念11

7.2.2 偏导数的几何意义14

7.2.3 高阶偏导数15

7.3 全微分18

7.3.1 全微分的概念18

7.3.2 全微分在近似计算中的应用23

7.4 多元复合函数的求导法则26

7.4.1 多元复合函数的微分法26

7.4.2 全微分形式不变性31

7.5 隐函数的求导公式33

7.5.1 一个方程的情形33

7.5.2 方程组的情形36

7.6 多元函数微分学的几何应用40

7.6.1 空间曲线的切线与法平面40

7.6.2 曲面的切平面与法线44

7.7 方向导数与梯度48

7.7.1 方向导数48

7.7.2 梯度50

7.8 多元函数的极值及其应用54

7.8.1 多元函数的极值与最值54

7.8.2 条件极值拉格朗日乘数法58

7.9 最小二乘法62

总习题766

实验7多元函数的极限及偏导数的计算69

参考答案70

第8章 重积分78

8.1 二重积分78

8.1.1 二重积分的概念78

8.1.2 二重积分的性质81

8.1.3 平面区域的表示82

8.2 二重积分的计算85

8.2.1 利用直角坐标计算二重积分85

8.2.2 利用极坐标计算二重积分89

8.2.3 一般变换计算二重积分94

8.3 三重积分99

8.3.1 三重积分的概念99

8.3.2 三重积分的计算100

8.4 重积分的应用107

8.4.1 曲面的面积107

8.4.2 质心110

8.4.3 转动惯量112

8.4.4 引力113

总习题8116

实验8重积分118

参考答案119

第9章 曲线积分与曲面积分123

9.1 对弧长的曲线积分123

9.1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质123

9.1.2 对弧长的曲线积分的计算125

9.2 对坐标的曲线积分129

9.2.1 对坐标的曲线积分的概念与性质129

9.2.2 对坐标的曲线积分的计算132

9.2.3 两类曲线积分之间的联系136

9.3 格林公式及其应用139

9.3.1 格林公式139

9.3.2 平面上曲线积分与路径无关的条件143

9.3.3 二元函数的全微分求积145

9.4 对面积的曲面积分149

9.4.1 对面积的曲面积分的概念与性质149

9.4.2 对面积的曲面积分的计算150

9.5 对坐标的曲面积分154

9.5.1 对坐标的曲面积分的概念与性质154

9.5.2 对坐标的曲面积分的计算158

9.5.3 两类曲面积分之间的联系160

9.6 高斯公式 通量与散度162

9.6.1 高斯公式162

9.6.2 曲面积分与积分曲面无关的条件165

9.6.3 通量与散度166

9.7 斯托克斯公式环流量与旋度169

9.7.1 斯托克斯公式169

9.7.2 空间曲线积分与路径无关的条件173

9.7.3 环流量与旋度174

总习题9176

实验9 曲线积分与曲面积分179

参考答案181

第10章 无穷级数184

10.1 常数项级数的概念与性质184

10.1.1 常数项级数185

10.1.2 收敛级数的基本性质187

10.1.3 柯西审敛原理190

10.2 正项级数192

10.2.1 比较审敛法192

10.2.2 比值审敛法和根值审敛法196

10.2.3 柯西积分审敛法199

10.3 任意项级数200

10.3.1 交错级数201

10.3.2 绝对收敛与条件收敛202

10.4 幂级数207

10.4.1 函数项级数的概念207

10.4.2 幂级数及其收敛性207

10.4.3 幂级数的运算212

10.5 函数展开成幂级数215

10.5.1 泰勒级数216

10.5.2 函数展开成幂级数的方法218

10.5.3 函数的幂级数展开式的应用224

10.6 傅里叶级数226

10.6.1 三角函数系及其正交性226

10.6.2 函数展开成傅里叶级数227

10.6.3 傅里叶级数的收敛性229

10.6.4 正弦级数和余弦级数233

10.7 一般周期函数的傅里叶级数237

10.7.1 周期为2l的周期函数的傅里叶级数237

10.7.2 傅里叶级数的复数形式240

总习题10243

实验10无穷级数245

参考答案250

第11章 微分方程255

11.1 微分方程的基本概念255

11.2 可分离变量的微分方程与齐次方程259

11.2.1 可分离变量的微分方程260

11.2.2 齐次方程264

11.3 一阶线性微分方程268

11.3.1 一阶线性方程的解法268

11.3.2 伯努利方程272

11.4 全微分方程275

11.5 可降阶的高阶微分方程279

11.5.1 y（n）＝f（x）型的微分方程279

11.5.2 y″＝f（x，y′）型的微分方程280

11.5.3 y″＝f（y，y′）型的微分方程282

11.6 二阶线性微分方程285

11.7 二阶常系数齐次线性微分方程288

11.8 二阶常系数非齐次线性微分方程293

11.8.1 f（x）＝Pm（x）e rx型293

11.8.2 f（x）＝eax［Pl（x）cosβ＋Pn（x）sinβx］型296

11.8.3 欧拉方程299

11.9 微分方程的幂级数解法301

总习题11304

实验11常微分方程的求解305

参考答案310