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第1章 线性变换1

1.1 线性变换的定义1

1.1A 附录:域的概念2

1.2 线性变换的矩阵表示3

1.2.1 矩阵的定义3

1.2.2 矩阵的运算4

1.2.3 线性变换的矩阵表示6

1.3 线性变换与线性空间7

1.3.1 线性变换的性质7

1.3.2 矢量空间和矢量子空间7

1.3.3 线性变换与矢量空间映射的定理8

1.4 矢理空间的基9

1.4.1 矢量的线性无关与线性相关9

1.4.2 矢量空间的基与维数11

1.5 线性变换与矢量空间映射的定理的明晰化13

1.6 非奇异与奇异线性变换及有关定理13

1.6.1 非奇异与奇异线性变换13

1.6.2 线性变换的映射性质14

1.6.3 非奇异线性变换的一一映射性质14

1.6.4 非奇异线性变换具有逆变换15

1.6.5 奇异线性变换的情况17

第2章 群19

2.1 非奇异线性变换总体的性质19

2.1.1 非奇异线性变换具有逆变换19

2.1.2 非奇异线性变换具有恒同变换19

2.1.3 线性变换之积20

2.1.4 线性变换的乘法满足合律21

2.1.5 非奇异线性变换的几何意义22

2.2 抽象群的定义23

2.2.1 定义23

2.2.2 说明与例子24

2.2.3 附录:域的另一定义26

2.3 一般线性群27

2.3.1 线性变换群27

2.3.2 矩阵群27

2.3.3 群的同构28

2.3.4 一般线性群29

2.3.5 连续群29

2.4 仿射变换群29

2.4.1 子群29

2.4.2 仿射变换群30

2.4.3 仿射变换群的子群31

2.5 正交群31

2.5.1 正交变换31

2.5.2 转置矩阵32

2.5.3 标积的定义32

2.5.4 正交矩阵33

2.5.5 正交变换保持标积不变33

2.5.6 等价关系33

2.5.7 正交群34

2.5.8 刚体运动的Euclid群35

2.6 幺正群36

2.6.1 幺正变换36

2.6.2 Hermite矩阵36

2.6.3 幺正矩阵36

2.6.4 幺正变换保持标积不变37

2.6.5 幺正群37

2.7 置换群38

2.7.1 置换的定义38

2.7.2 置换矩阵38

2.7.3 对称群的定义39

2.7.4 置换、轮换与对换40

2.7.5 对称群有关定理42

2.7.6 置换群44

2.8 群同构的具体例子45

第3章 行列式50

3.1 行列式的定义50

3.2 行列式的主要性质52

3.3 行列式的展开55

3.3.1 子行列式55

3.3.2 行列式按行（或列）展开57

3.3.3 行列式的Laplace展开59

3.3.4 行列式值的计算——凝聚法61

3.4 矩阵的分块运算63

3.4.1 矩阵的分块乘法63

3.4.2 同阶矩阵之积的行列式64

3.4.3 同阶行列式的乘积65

3.4.4 分块矩阵的行列式65

3.5 矩阵的秩66

3.5.1 秩的定义66

3.5.2 满秩方阵的有关定理66

3.5.3 列秩与行秩及有关定理67

3.6 矩阵求逆68

3.6.1 利用伴随矩阵求逆68

3.6.2 利用矩阵的变换求逆69

3.6.3 利用矩阵的分块运算求逆70

3.6.4 逐步求近法71

3.7 矩阵的迹71

3.8 若干特种行列式72

3.8.1 Vandermonde行列式72

3.8.2 Jacobi行列式73

3.8.3 Wronski行列式75

3.9 行列式的导数与极限76

3.9.1 行列式的导数76

3.9.2 行列式的极限77

第4章 线性方程组的求解78

4.1 引言78

4.2 Gauss消元法79

4.2.1 用消元法求数值解的例子79

4.2.2 关于数值解的讨论82

4.3 Cramer法则83

4.4 迭代法84

4.4.1 几种常用迭代法85

4.4.2 迭代格式的矩阵形式86

4.4.3 迭代收敛性87

4.4.4 松驰因子的选取88

4.4.5 一个例子88

习题89

第5章 矢量与张量分析92

5.1 矢量与张量的定义92

5.2 Descartes张量93

5.2.1 正交变换93

5.2.2 Descartes张量94

5.2.3 Descartes张量的例子96

5.3 Descartes张量的运算97

5.3.1 张量的线性相加97

5.3.2 张量的相等97

5.3.3 零张量98

5.3.4 单位张量98

5.3.5 张量的缩并99

5.3.6 张量的乘法99

5.3.7 张量的缩乘100

5.3.8 张量的导数100

5.3.9 张量方程102

5.4 对称和反对称张量102

5.4.1 张量指标的置换102

5.4.2 对称和反对称张量103

5.4.3 全反对称张量·赝张量105

5.5 赝Euclid张量110

5.6 广义坐标变换下的张量112

5.6.1 广义坐标变换112

5.6.2 反变矢量114

5.6.3 标量场115

5.6.4 协变矢量115

5.6.5 混变张量116

5.7 混变张量的代数运算117

5.7.1 张量的加法和减法117

5.7.2 张量的缩并118

5.7.3 张量的乘法118

5.7.4 对称和反对称张量119

5.8 度规张量120

5.8.1 度规张量120

5.8.2 反应度规张量121

5.8.3 相伴张量121

5.8.4 指标的升降121

5.8.5 张量方程中的指标定则122

5.9 标量密度与张量密度122

5.9.1 标量密度122

5.9.2 标量积分元123

5.9.3 张量密度124

5.10 商定律124

5.11 张量的微分运算126

5.11.1 矢量平衡与仿射联络126

5.11.2 Levi-Civita联络128

5.11.3 张量的协变导数130

5.11.4 张量的协变散度133

5.11.5 联络系数的变换律134

5.11.6 曲率张量136

第6章 二次型和主轴变换142

6.1 二次型与Hermite型142

6.1.1 二次型142

6.1.2 Hermite型142

6.2 主轴变换143

6.2.1 主轴变换的定义143

6.2.2 主轴变换的意义143

6.3 本征值问题146

6.3.1 本征值的确定及性质146

6.3.2 本征矢及其性质·矩阵的对角化148

6.4 本征值的极值性质152

6.4.1 极值原理153

6.4.2 主轴变换的具体步骤153

6.4.3 变分形式155

6.5 Sylvester惯性律156

习题157

第7章 线性积分方程165

7.1 积分方程165

7.1.1 定义和分类165

7.1.2 地应无穷代数方程组166

7.2 第二类积分方程的Fredholm解167

7.2.1 对应代数方程组及其解法167

7.2.2 Fredholm行列式168

7.2.3 Fredholm解170

7.2.4 例子172

7.3 第二类积分方程的Liouville迭代解174

7.4 齐次积分方程175

7.4.1 有非平凡解的条件175

7.4.2 看作本征值问题176

7.4.3 对称核与Schmidt定理176

7.4.4 本征函数的正交归一化177

7.4.5 求本征值和本征矢的Aitken方法178

7.4.6 齐次积分方程的本征函数系180

7.5 第二类积分方程的Hilbert-Schmidt解法181

习题183

第8章 函数空间189

8.1 引言189

8.1.1 基本概念189

8.1.2 Schwarz不等式189

8.1.3 备注191

8.2 正交归一函数系191

8.2.1 定义191

8.2.2 线性无关性192

8.2.3 完备性192

8.3 Fourier级数192

8.3.1 三角函数系192

8.3.2 函数的Fourier级数展开194

8.3.3 Parseval公式195

8.3.4 应用例子195

8.3.5 Fourier级数的复数形式198

8.3.6 二维和三维空间的情形199

8.4 Fourier变换200

8.4.1 Fourier积分200

8.4.2 Fourier积分的复数形式201

8.4.3 Fourier变换与Fourier逆变换202

8.4.4 Parseval公式203

8.4.5 卷积定理204

8.4.6 应用例子205

8.4.7 三维空间和四维时空的情形210

8.5 运用Fourier分析的条件211

8.6 相关积分变换213

8.6.1 Laplace变换214

8.6.2 Mellin变换215

习题216

第9章 变分法221

9.1 泛函221

9.1.1 定义和例子221

9.1.2 无穷个变量的函数223

9.1.3 无穷维函数空间中的函数223

9.2 变分法的意义224

9.2.1 函数的极值问题224

9.2.2 泛函的极值问题225

9.3 Euler变分方程225

9.3.1 泛函的变分导数225

9.3.2 Euler变分方程·边界条件227

9.3.3 含高阶导数的情形230

9.3.4 几个变函数的情形231

9.3.5 变函数为复函数的情形232

9.3.6 几个参变量的情形232

9.4 Ritz方法234

9.5 条件极值问题235

9.5.1 函数的条件极值235

9.5.2 泛函的条件极值236

9.5.3 一般的条件极值237

9.6 曲线坐标系下Laplace方程的推导237

9.6.1 变分法问题238

9.6.2 坐标变换239

9.6.3 一般结果240

9.6.4 具体例子241

9.7 变分原理244

9.7.1 Hamilton正则运动方程244

9.7.2 Maxwell电磁场方程组246

9.7.3 Schrodinger波动力学方程248

9.7.4 小结249

第10章 微分方程绪论250

10.1 引言250

10.1.1 微分方程的有关定义250

10.1.2 常微分方程示例250

10.1.3 偏微分方程示例252

10.2 微分方程的等价问题253

10.2.1 常微分方程的等价定理253

10.2.2 偏微分方程的等价问题257

10.3 初值问题解的存在性定理258

10.3.1 存在性定理258

10.3.2 简单例子260

10.3.3 通解中的任意常数或任意函数262

10.3.4 微分方程与差分方程263

10.4 边值问题解的方法264

10.5 一阶偏微分方程的一般理论266

10.6 微分方程参考书268

第11章 二阶线性偏微分方程270

11.1分类和举例270

11.2 抛物型微分方程的解272

11.2.1 热传导方程的物理推导272

11.2.2 热传导方程的一般解法273

11.2.3 具体例子275

11.2.4 边界条件与Green函数278

11.2.5 地导的热传导问题281

11.3 双典型及椭圆型微分方程的解284

11.3.1 引言284

11.3.2 D Alembert方程的Kirchhoff公式286

11.3.3 Kirchhoff公式的证明288

11.3.4 波动方程的叠加原理解法293

第12章 二阶线性常微分方程300

12.1 引论300

12.1.1 解的基本概念300

12.1.2 降价法301

12.1.3 初值问题的另一看法303

12.1.4 函数的级数表示和积分表示304

12.2 复变函数论概要304

12.2.1 解析函数的定义304

12.2.2 函数的奇点与支点308

12.2.3 解析函数的CR条件·共形映射310

12.2.4 解析函数有关定理313

12.2.5 解析函数的表示方法与解析延拓322

12.2.6 T函数和B函数325

12.3 常点领域内的级数解329

12.3.1 方程的奇点与常点330

12.3.2 Legendre微分方程331

12.3.3 级数解法的具体步骤334

12.3.4 解析延拓问题335

12.4 正则奇点领域内的正则解337

12.4.1 方程的正则奇点337

12.4.2 正则解的指标方程338

12.4.3 超几何微分方程340

12.4.4 Legendre方程350

12.5 非正则奇点领域内的常规解359

12.5.1 方程的非正则奇点360

12.5.2 常规解360

12.5.3 汇合型超几何方程362

12.5.4 Whittaker方程365

12.5.5 Bessel方程367

第13章 微分方程的数值解法376

13.1 数值方法的重要性376

13.2 Weierstrass定理376

13.3 插值法377

13.3.1 多项式插值377

13.3.2 三次样条插值379

13.4 数值微分和积分381

13.4.1 数值微分381

13.4.2 数值积分383

13.5 微分方程的数值解法386

13.5.1 Runge-Kutta法386

13.5.2 Adams法387

13.5.3 预估校正法389

13.5.4 二阶常微分方程390

13.6 数值计算方法程序库391

索引393