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第一部分 数理逻辑1

第1章 命题逻辑演算系统1

1.1命题逻辑演算系统的概念1

1.1.1命题1

1.1.2联结词4

1.2命题公式与真值表7

1.2.1命题公式与命题函数8

1.2.2命题公式的真值表10

1.2.3永真式与永假式11

1.2.4其他联结词13

1.2.5最小联结词组14

1.3等价式与蕴含式15

1.3.1命题公式的等价16

1.3.2命题公式的蕴含17

1.3.3等价的判定18

1.3.4蕴含的判定19

1.4范式与对偶式21

1.4.1对偶公式21

1.4.2范式24

1.4.3主范式25

1.5命题演算的推理理论30

1.5.1有效推理的概念30

1.5.2推理过程31

习题35

第2章 一阶谓词逻辑演算系统40

2.1谓词命题40

2.1.1原子命题的谓词表示40

2.1.2量词42

2.1.3论域42

2.1.4含量词的谓词命题44

2.2谓词命题公式及约束变量45

2.2.1谓词命题公式45

2.2.2谓词公式的解释与赋值47

2.2.3谓词公式的等价与蕴含49

2.2.4约束变量与自由变量50

2.2.5代入实例51

2.3谓词逻辑演算的等价式和蕴含式53

2.3.1等价式与蕴含式53

2.3.2多元谓词及其量词55

2.3.3前束范式与Skolem范式56

2.4谓词逻辑演算的推理理论57

习题63

第二部分 集合论67

第3章 集合与关系67

3.1集合及集合运算67

3.1.1集合的概念67

3.1.2集合的表示法68

3.1.3集合公理68

3.1.4集合的运算74

3.1.5集合的运算性质76

3.2三个基本原理80

3.2.1排列组合的复习80

3.2.2鸽巢原理81

3.2.3包含排斥原理82

3.2.4生成函数84

3.3笛卡儿（Descartes）积与关系87

3.3.1序偶与笛卡儿积87

3.3.2关系的概念91

3.3.3关系的表示93

3.3.4关系的性质94

3.4关系的运算97

3.4.1关系的集合运算98

3.4.2关系的复合运算98

3.4.3关系的逆运算102

3.4.4关系的闭包运算104

3.5等价关系与相容关系109

3.5.1划分与覆盖109

3.5.2等价关系与等价类111

3.5.3相容关系与相容类115

3.6次序关系117

3.6.1偏序关系118

3.6.2 Hasse图119

3.6.3上确界与下确界121

3.6.4良序关系123

习题123

第4章 函数131

4.1函数的概念131

4.1.1函数的定义131

4.1.2函数的特性133

4.2复合函数与逆函数136

4.2.1复合函数136

4.2.2逆函数137

4.2.3函数的运算性质138

4.3序数与自然数140

4.3.1等势与劣势140

4.3.2自然数142

4.3.3序数146

4.4基数147

4.4.1基数的定义147

4.4.2可数集与不可数集148

4.4.3基数的比较151

习题153

第三部分 代数系统155

第5章 代数结构155

5.1置换及其运算155

5.1.1置换与轮换155

5.1.2轮换的运算性质及方法158

5.1.3几个轮换运算的等式163

5.2数论初步163

5.2.1整数164

5.2.2辗转相除法165

5.2.3整数的互质性168

5.2.4整数的同余性169

5.3代数系统的概念173

5.3.1代数系统173

5.3.2子代数系统177

5.4代数结构与子结构178

5.4.1代数结构179

5.4.2子代数结构186

5.5同态，同构与同余187

5.5.1同态与同构187

5.5.2同余关系192

5.6几种典型的群196

5.6.1交换群196

5.6.2循环群196

5.6.3置换群198

5.6.4变换群与凯莱（Cayley）定理200

5.7陪集与拉格朗日定理202

5.7.1陪集202

5.7.2拉格朗日（Lagrange）定理204

5.7.3正规子群205

5.7.4同态定理208

5.8商代数与积代数209

5.8.1商代数209

5.8.2积代数211

5.9环与域212

5.9.1环212

5.9.2整环和域214

5.9.3环同态与理想216

习题220

第6章 格与布尔代数226

6.1格的概念226

6.1.1格与子格226

6.1.2格的性质229

6.1.3格的同态233

6.2几种典型的格236

6.2.1分配格236

6.2.2模格239

6.2.3有界格241

6.2.4有补格242

6.2.5布尔（Boolean）格243

6.3 Stone表示定理247

6.4布尔表达式250

6.4.1布尔表达式250

6.4.2布尔函数251

6.4.3布尔表达式的析取范式与合取范式252

习题257

第四部分 图论259

第7章 图论259

7.1图的基本概念259

7.1.1图的概念与定义259

7.1.2常用的术语260

7.1.3顶点的度数262

7.1.4子图与补图263

7.1.5图同构265

7.1.6图的运算266

7.2路与连通性268

7.2.1路与通路268

7.2.2无向连通270

7.2.3有向连通273

7.3图的矩阵276

7.3.1邻接矩阵276

7.3.2完全关联矩阵279

7.3.3可达矩阵283

7.3.4回路矩阵284

7.3.5割集矩阵286

7.4欧拉图与哈密尔顿图287

7.4.1 Euler图288

7.4.2 Hamilton图292

7.5树及其应用295

7.5.1无向树295

7.5.2生成树299

7.5.3生成树的个数302

7.5.4有向树及根树304

7.5.5哈夫曼（Huffman）树306

7.5.6树的应用308

7.6通路问题310

7.6.1关键路径310

7.6.2最短通路312

7.6.3最优通路315

7.7平面图318

7.7.1平面图的概念318

7.7.2对偶图321

7.8图的着色322

7.8.1色数与五色定理322

7.8.2色多项式324

7.9二分图与匹配327

7.9.1独立集与二分图328

7.9.2匹配329

7.10网络流333

7.10.1基本概念334

7.10.2最大流与最小割335

习题338

附录 中英文名词对照346

参考文献355