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第8章　多元函数微分学及其应用1

8.1　多元函数的基本概念1

8.1.1 区域1

8.1.2　多元函数的概念2

8.1.3　多元函数的极限4

8.1.4　多元函数的连续性5

8.1.5　有界闭区域上连续函数的性质6

习题8.16

8.2　偏导数7

8.2.1　偏导数的概念与计算7

8.2.2　高阶偏导数9

习题8.211

8.3　全微分及其应用12

8.3.1　全微分的概念12

8.3.2　可微的必要条件与充分条件13

8.3.3 全微分在近似计算中的应用14

习题8.316

8.4　多元复合函数的微分法17

8.4.1　复合函数偏导数的求法17

8.4.2　全微分形式的不变性19

8.4.3　变量替换20

习题8.423

8.5　隐函数存在定理与隐函数的微分法24

8.5.1　一个方程的情形24

8.5.2　方程组的情形25

习题8.527

8.6　方向导数与梯度28

8.6.1　方向导数28

8.6.2　梯度30

习题8.631

8.7　空间曲线的切线与曲面的切平面32

8.7.1 空间曲线的切线与法平面32

8.7.2 曲面的切平面与法线33

习题8.734

8.8　多元函数的极值及其应用35

8.8.1　极值的必要条件与充分条件35

8.8.2　多元函数最值问题应用举例36

8.8.3　条件极值，拉格朗日乘子法37

习题8.841

8.9 二元函数的泰勒公式42

习题8.944

8.10 最小二乘法44

习题8.1046

8.11 自测题46

第9章　多元函数的积分及其应用48

9.1　多元函数黎曼积分的概念与性质48

9.1.1　二个实例48

9.1.2　多元函数黎曼积分的概念49

9.1.3　多元函数黎曼积分的存在性定理与性质50

9.1.4　多元函数黎曼积分的简化性质51

习题9.153

9.2　二重积分在直角坐标系下的计算54

习题9.257

9.3　二重积分的变量替换、曲面面积的计算59

9.3.1　在极坐标系下计算二重积分59

9.3.2　二重积分的一般变量替换61

9.3.3　曲面面积的计算62

习题9.364

9.4　三重积分的计算66

9.4.1　三重积分在直角坐标系下的计算66

9.4.2　在柱坐标系下计算三重积分68

9.4.3　在球坐标系下计算三重积分70

9.4.4　三重积分的一般变量替换72

习题9.472

9.5　第一型曲线积分与曲面积分的计算74

9.5.1　第一型曲线积分的计算74

9.5.2　第一型曲面积分的计算76

习题9.578

9.6　多元函数黎曼积分的物理应用79

9.6.1　物体的质心与转动惯量公式79

9.6.2　物体对质点引力的计算82

习题9.683

9.7 自测题83

第10章　第二型曲线积分、曲面积分与场论86

10.1　第二型曲线积分的概念与计算86

10.1.1　第二型曲线积分的概念与性质86

10.1.2　第二型曲线积分的坐标形式88

10.1.3　第二型曲线积分的计算88

习题10.191

10.2　格林公式及其应用92

10.2.1　格林公式92

10.2.2　平面上曲线积分与路径无关的条件95

习题10.299

10.3　第二型曲面积分的概念与计算100

10.3.1　第二型曲面积分的概念与性质101

10.3.2　第二型曲面积分的坐标形式及其计算公式103

习题10.3105

10.4　高斯公式，斯托克斯公式107

10.4.1　高斯公式107

10.4.2　斯托克斯公式110

习题10.4113

10.5 场论114

10.5.1　数量场的梯度场与哈密顿算子114

10.5.2　散度115

10.5.3　旋度117

10.5.4　保守场117

习题10.5119

10.6 自测题119

第11章　级数122

11.1　级数的概念及其性质122

11.1.1　级数的概念122

11.1.2　收敛级数的基本性质124

习题11.1125

11.2　正项级数的收敛判别法126

11.2.1 比较判别法126

11.2.2　积分判别法128

习题11.2129

11.3　一般项级数130

11.3.1　交错级数130

11.3.2　绝对收敛及其判别法130

11.3.3 绝对收敛级数的性质133

习题11.3134

11.4　幂级数135

11.4.1 函数项级数的概念135

11.4.2　幂级数及其收敛半径135

11.4.3　幂级数的运算及其和函数的性质137

习题11.4139

11.5　泰勒级数140

11.5.1　泰勒级数的概念140

11.5.2 函数的幂级数展开举例142

11.5.3　幂级数在近似计算中的应用145

11.5.4　复数项级数、欧拉公式148

习题11.5149

11.6　傅里叶级数149

11.6.1　傅里叶系数与傅里叶级数150

11.6.2　傅里叶级数的收敛定理151

11.6.3 函数在［0,l］上展开为正弦级数或余弦级数154

11.6.4 傅里叶级数的复数形式155

习题11.6156

11.7 自测题157

第12章　微分方程159

12.1　齐次方程159

12.1.1　齐次方程的定义与解法159

12.1.2 可化为齐次的方程161

习题12.1163

12.2　一阶线性微分方程163

12.2.1　一阶线性微分方程的解法163

12.2.2　伯努利方程166

习题12.2167

12.3　全微分方程167

12.3.1　全微分方程的概念与解法167

12.3.2　积分因子169

习题12.3170

12.4　一阶隐式方程与可降阶的二阶方程171

12.4.1　可解出y′的一阶隐式方程171

12.4.2　可降阶的二阶微分方程172

习题12.4173

12.5　二阶线性微分方程解的结构与常系数齐次线性微分方程的解法174

12.5.1　二阶线性微分方程解的结构174

12.5.2　二阶常系数齐次线性方程的解法176

12.5.3　高阶常系数齐次线性方程的解法177

习题12.5178

12.6 用待定系数法求非齐次线性方程的特解，用常数变易法解二阶线性方程179

12.6.1　用待定系数法求特解179

12.6.2 用常数变易法解二阶线性方程181

习题12.6183

12.7　欧拉方程、二阶线性方程应用举例184

12.7.1　欧拉方程184

12.7.2　应用举例185

习题12.7188

12.8　微分方程的幂级数解法举例189

习题12.8191

12.9　常系数线性微分方程组解法举例191

习题12.9194

12.10 自测题195

习题答案197