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第6章 向量代数与空间解析几何1

6.1　向量及其线性运算1

6.1.1 空间直角坐标系1

6.1.2 向量及其坐标表示3

6.1.3　向量的方向余弦5

6.1.4 向量的线性运算5

习题6.1（附答案与提示）9

6.2　向量的点积与叉积10

6.2.1 两个向量的点积10

6.2.2　点积的性质11

6.2.3　R3中两个向量的叉积12

6.2.4 向量的混合积15

习题6.2（附答案与提示）16

6.3　直线与平面17

6.3.1 R2中的直线17

6.3.2　R3中的平面18

6.3.3　R3中的直线20

习题6.3（附答案与提示）21

6.4　直线与平面的位置关系23

6.4.1 两直线的夹角23

6.4.2　两平面的夹角24

6.4.3　直线与平面的夹角24

6.4.4　点到平面的距离25

6.4.5 平面束27

习题6.4（附答案与提示）27

6.5 曲面29

6.5.1 曲面及其方程29

6.5.2 柱面30

6.5.3　球面31

6.5.4　椭球面31

6.5.5　旋转曲面31

6.5.6　其他曲面的例子33

习题6.5（附答案与提示）34

6.6　曲线35

6.6.1　平面曲线35

6.6.2 空间曲线35

6.6.3 空间曲线的投影柱面和投影曲线36

习题6.6（附答案与提示）37

总习题（6）（附答案与提示）38

第7章 多元函数微分学42

7.1　n维欧氏空间中某些基本概念42

7.1.1　n维欧氏空间Rn42

7.1.2　邻域44

7.1.3 内点、外点、边界点、聚点44

7.1.4 开集45

7.1.5 闭集45

7.1.6 区域46

习题7.1（附答案与提示）46

7.2　多元函数的基本概念47

7.2.1 二元函数47

7.2.2 等高线和等位面49

7.2.3　极限与连续52

习题7.2（附答案与提示）54

7.3　偏导数与全微分56

7.3.1　偏导数56

7.3.2 全微分58

7.3.3　连续性与可微性，偏导数与可微性60

习题7.3（附答案与提示）63

7.4　复合函数的求导法则66

7.4.1　z=f(x,y),x=g(t),y=h（t）的情形66

7.4.2　z=f(x,y)，x=g(u,v),y=h（u,v）的情形67

7.4.3　一阶全微分形式的不变性68

7.4.4　高阶偏导数和高阶全微分70

习题7.4（附答案与提示）72

7.5　方向导数与梯度75

7.5.1　方向导数75

7.5.2　梯度78

习题7.5（附答案与提示）80

7.6　隐函数微分法82

7.6.1　一个方程的情形82

7.6.2　方程组的情形84

7.6.3　隐函数存在定理86

习题7.6（附答案与提示）88

7.7　泰勒多项式89

习题7.7（附答案与提示）91

7.8　向量值函数的导数92

7.8.1 向量值函数的概念92

7.8.2 向量值函数的极限与连续性93

7.8.3 向量值函数的导数94

习题7.8（附答案与提示）97

7.9　偏导数在几何上的应用98

7.9.1 空间曲线的切线与法平面98

7.9.2 曲面的切平面与法线101

习题7.9（附答案与提示）105

7.10　无约束最优化问题107

7.10.1 多元函数的极值概念107

7.10.2　极值的必要条件108

7.10.3　极值的充分条件109

7.10.4　最大（小）值的求法110

习题7.10（附答案与提示）112

7.11　约束最优化问题114

7.11.1 拉格朗日乘数114

7.11.2　拉格朗日乘数法115

习题7.11（附答案与提示）118

7.12　偏导数计算在偏微分方程中的应用119

7.12.1　验证给定函数满足某偏微分方程119

7.12.2　变量代换121

习题7.12（附答案与提示）122

总习题（7）（附答案与提示）123

第8章　重积分129

8.1　二重积分的概念129

8.1.1 曲顶柱体的体积129

8.1.2 平面区域内昆虫群体的总量130

8.1.3　二重积分的定义131

8.1.4　二重积分的性质131

习题8.1（附答案与提示）132

8.2　二重积分的计算133

8.2.1　矩形区域上的二重积分133

8.2.2　一般区域上的二重积分134

8.2.3　利用极坐标计算二重积分138

8.2.4　二重积分的一般换元法141

习题8.2（附答案与提示）143

8.3　广义二重积分146

习题8.3（附答案与提示）147

8.4　三重积分的概念和计算147

8.4.1　三重积分的概念147

8.4.2　利用直角坐标系计算三重积分148

8.4.3　利用柱坐标系计算三重积分151

8.4.4　利用球坐标系计算三重积分154

习题8.4（附答案与提示）156

8.5　重积分的应用158

8.5.1　体积158

8.5.2　物体的质心159

8.5.3　转动惯量160

8.5.4　引力161

习题8.5（附答案与提示）162

总习题（8）（附答案与提示）164

第9章 曲线积分与曲面积分167

9.1　第一类曲线积分167

习题9.1（附答案与提示）170

9.2　第二类曲线积分171

9.2.1　第二类曲线积分的概念和性质171

9.2.2　第二类曲线积分的计算173

9.2.3　第二类曲线积分的几个等价形式174

习题9.2（附答案与提示）177

9.3　第一类曲面积分179

9.3.1　曲面面积179

9.3.2　第一类曲面积分的概念和性质180

9.3.3　第一类曲面积分的计算182

习题9.3（附答案与提示）183

9.4　第二类曲面积分184

9.4.1　第二类曲面积分的概念184

9.4.2　第二类曲面积分的几个等价形式186

9.4.3　第二类曲面积分的计算187

习题9.4（附答案与提示）189

9.5　格林公式及其应用190

9.5.1　平面闭曲线的定向190

9.5.2　格林公式191

9.5.3　格林公式的应用194

习题9.5（附答案与提示）196

9.6　保守场与势函数198

9.6.1　保守场与势函数的概念198

9.6.2　保守场的性质199

9.6.3　保守场的判别法201

9.6.4　全微分方程及势函数的求法203

习题9.6（附答案与提示）206

9.7　散度和高斯公式208

9.7.1 向量场的散度208

9.7.2　散度的计算209

9.7.3　高斯公式210

习题9.7（附答案与提示）213

9.8　旋度与斯托克斯公式214

9.8.1 向量场的旋度214

9.8.2　斯托克斯公式215

9.8.3　旋度的计算217

习题9.8（附答案与提示）219

9.9　梯度算子220

9.9.1　梯度算子的运算规则220

9.9.2　几个基本公式220

9.9.3　例子221

习题9.9（附答案与提示）222

9.10　向量的外积与外微分形式223

9.10.1 向量的外积223

9.10.2　外微分形式及外微分225

9.10.3　场论基本公式的统一形式226

习题9.10（附答案与提示）228

总习题（9）（附答案与提示）229

第10章　无穷级数233

10.1　数项级数的收敛与发散233

10.1.1　基本概念233

10.1.2　收敛级数的基本性质236

习题10.1（附答案与提示）238

10.2　正项级数239

10.2.1　有界性准则239

10.2.2 比较判别法240

10.2.3 比值判别法和根值判别法243

10.2.4　积分判别法246

习题10.2（附答案与提示）247

10.3　任意项级数249

10.3.1　交错级数收敛判别法249

10.3.2 绝对收敛与条件收敛250

10.3.3 绝对收敛级数的性质252

习题10.3（附答案与提示）254

10.4　函数项级数的基本概念256

10.4.1 函数列和函数项级数256

10.4.2　收敛域256

10.4.3　几个基本问题257

10.4.4　一致收敛的概念259

10.4.5 一致收敛级数的性质261

习题10.4（附答案与提示）262

10.5　幂级数及其收敛性263

10.5.1　幂级数的收敛半径与收敛区间264

10.5.2 收敛半径的求法266

10.5.3　幂级数的性质269

习题10.5（附答案与提示）273

10.6　泰勒级数275

10.6.1　基本定理275

10.6.2　几个基本初等函数的泰勒级数277

10.6.3　应用基本展开式的例子280

10.6.4　微分方程的幂级数解法282

习题10.6（附答案与提示）283

10.7　周期函数的傅里叶级数284

10.7.1　基本三角函数系285

10.7.2　傅里叶系数286

10.7.3　收敛定理287

10.7.4　例子287

10.7.5　正弦级数和余弦级数289

习题10.7（附答案与提示）291

10.8　任意区间上的傅里叶级数292

10.8.1　区间［-π,π］上的傅里叶级数292

10.8.2　区间［-ι,ι］上的傅里叶级数295

习题10.8（附答案与提示）297

10.9　傅里叶级数的复数形式298

习题10.9（附答案与提示）300

总习题（10）（附答案与提示）301

第11章　含参变量的积分306

11.1　含参变量的常义积分306

习题11.1（附答案与提示）309

11.2　反常积分收敛性判别法310

11.2.1　无穷积分收敛性判别法310

11.2.2　无界函数的反常积分收敛性判别法312

习题11.2（附答案与提示）314

11.3　含参变量的反常积分315

11.3.1　一致收敛性315

11.3.2　含参变量反常积分的性质316

习题11.3（附答案与提示）317

总习题（11）（附答案与提示）317

参考文献319