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第1章 函数、极限与连续1

1.1 函数2

1.1.1 集合2

1.1.2 函数的概念5

1.1.3 函数的几种重要特性8

1.1.4 复合函数与反函数9

1.1.5 映射10

1.1.6 初等函数与非初等函数11

习题1-113

1.2 极限15

1.2.1 极限概念引例15

1.2.2 数列的极限16

1.2.3 自变量趋于无穷大时函数的极限17

1.2.4 自变量趋于有限值时函数的极限19

1.2.5 无穷小与无穷大23

习题1-224

1.3 极限的性质与运算25

1.3.1 极限的几个性质25

1.3.2 极限的四则运算法则27

1.3.3 函数极限与数列极限的关系30

1.3.4 夹逼法则31

1.3.5 复合运算法则33

习题1-334

1.4 单调有界原理和无理数e35

1.4.1 单调有界原理36

1.4.2 极限？(1+1/x)x=e37

1.4.3 指数函数ex，对数函数lnx，双曲函数39

习题1-441

1.5 无穷小的比较41

1.5.1 无穷小的阶41

1.5.2 利用等价无穷小代换求极限44

习题1-545

1.6 函数的连续与间断45

1.6.1 函数的连续与间断45

1.6.2 初等函数的连续性50

习题1-653

1.7 闭区间上连续函数的性质54

1.7.1 闭区间上连续函数的有界性与最值性质54

1.7.2 闭区间上连续函数的介值性质55

习题1-758

1.8 实数的连续性59

1.8.1 实数连续性定理59

1.8.2 闭区闭连续函数性质的证明66

习题1-870

1.9 应用实例71

复习题一76

习题参考答案与提示78

第2章 一元函数微分学及其应用81

2.0 引例82

2.1 导数的概念82

2.1.1 引出导数概念的2个经典问题82

2.1.2 导数的概念84

2.1.3 用定义求导数举例85

2.1.4 导数的几何意义87

2.1.5 函数可导性与连续性的关系88

习题2-189

2.2 求导法则91

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则91

2.2.2 复合函数的求导法则92

2.2.3 反函数的求导法则94

2.2.4 一些特殊的求导法则96

习题2-2101

2.3 函数的微分103

2.3.1 微分的概念103

2.3.2 微分公式与运算法则105

2.3.3 微分的应用107

习题2-3110

2.4 高阶导数与相关变化率111

2.4.1 高阶导数111

2.4.2 隐函数和参数方程所确定的函数的高阶导数113

2.4.3 函数的n阶导数114

2.4.4 高阶微分116

习题2-4117

2.5 利用导数求极限——洛必达法则118

2.5.1 0/0型未定式的极限118

2.5.2 ∞／∞型未定式的极限120

2.5.3　其他类型未定式的极限121

习题2-5123

2.6　微分中值定理124

2.6.1 罗尔定理124

2.6.2　拉格朗日中值定理125

习题2-6129

2.7 泰勒公式——用多项式逼近函数130

2.7.1　泰勒多项式与泰勒公式130

2.7.2 常用函数的麦克劳林公式133

2.7.3 泰勒公式的应用135

习题2-7137

2.8 利用导数研究函数的性态138

2.8.1 函数的单调性138

2.8.2 函数的极值140

2.8.3 函数的最大值与最小值142

2.8.4 函数的凸性与拐点144

2.8.5 曲线的渐近线，函数作图146

习题2-8148

2.9 平面曲线的曲率150

2.9.1 弧微分150

2.9.2 曲率和曲率公式151

习题2-9154

2.10 非线性方程的数值解法154

习题2-10157

复习题二157

习题参考答案与提示159

第3章 一元函数积分学及其应用164

3.0 引例165

3.1 定积分的概念、性质、可积准则165

3.1.1 定积分问题举例165

3.1.2 定积分的概念167

3.1.3 定积分的几何意义168

3.1.4 可积准则169

3.1.5 定积分的性质171

习题3-1174

3.2 微积分基本定理175

3.2.1 牛顿-莱布尼兹公式175

3.2.2 原函数存在定理177

习题3-2179

3.3 不定积分180

3.3.1 不定积分的概念及性质180

3.3.2 基本积分公式182

3.3.3 积分法则182

习题3-3193

3.4 定积分的计算195

3.4.1 定积分的换元法197

3.4.2 定积分的分部积分法199

习题3-4201

3.5 定积分应用举例202

3.5.1 总量的可加性与微元法202

3.5.2 几何应用举例202

3.5.3 物理、力学应用举例210

3.5.4 函数的平均值213

习题3-5213

3.6 反常积分215

3.6.1 无穷区间上的反常积分215

3.6.2 无界函数的反常积分217

3.6.3 反常积分的收敛判别法219

习题3-6222

3.7 定积分的近似计算222

3.7.1 牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）公式223

3.7.2 复化牛顿-柯特斯公式与逐次分半算法225

复习题三227

习题参考答案与提示229

第4章 微分方程233

4.1 微分方程的基本概念234

4.1.1 基本概念234

4.1.2 作为数学模型的微分方程237

习题4-1240

4.2 微分方程的初等积分法240

4.2.1 一阶可分离变量方程240

4.2.2 一阶线性微分方程242

4.2.3 利用变量代换求解微分方程244

4.2.4 某些可降阶的高阶微分方程247

习题4-2250

4.3 一阶微分方程建模251

4.3.1 线性方程251

4.3.2 非线性方程254

4.3.3 线性微分方程组和非线性方程组257

习题4-3259

4.4 高阶线性微分方程260

4.4.1 线性微分方程通解的结构260

4.4.2 高阶常系数齐次线性微分方程的解法263

4.4.3 高阶常系数非齐次线性微分方程的解法266

习题4-4276

4.5 线性微分方程组277

4.5.1 线性微分方程组通解的结构277

4.5.2 常系数齐次线性微分方程组的解法280

4.5.3 常系数非齐次线性方程组的解法285

习题4-5287

4.6 微分方程的数值解288

4.6.1 欧拉方法与误差分析288

4.6.2 龙格-库塔法292

4.6.3 多步法295

习题4-6296

习题参考答案与提示296

附录1 几种常见曲线300

附录2 汉英数学名词对照302

附录3 希腊字母表306

参考文献307