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第1章 基础知识1

1.1 集合的初步知识1

1.2 数学归纳法1

1.3 整数的基本性质2

1.3.1 整除2

1.3.2 素数3

1.3.3 带余除法4

1.3.4 最大公约数5

1.3.5 最小公倍数7

1.3.6 模运算8

1.3.7 同余的应用10

1.4 序列的基本知识11

1.4.1 序列11

1.4.2 典型的整数序列12

1.4.3 序列求和13

1.5 计数15

1.5.1 加法原理和乘法原理15

1.5.2 排列与组合17

1.5.3 二项式定理21

1.5.4 鸽巢原理22

1.6 矩阵的初步知识23

1.6.1 矩阵的概念23

1.6.2 矩阵的加法和数乘25

1.6.3 矩阵的乘法26

1.6.4 转置矩阵和逆矩阵27

1.7 本章小结28

1.8 习题28

第2章 命题逻辑31

2.1 命题与联结词31

2.1.1 命题31

2.1.2 逻辑联结词33

2.1.3 联结词的优先级37

2.1.4 命题符号化37

2.1.5 逻辑运算在计算机中的直接运用39

2.2 命题公式与等价演算41

2.2.1 命题公式及其层次41

2.2.2 命题公式的赋值42

2.2.3 等价式与等价演算45

2.2.4 等价演算的实际应用48

2.3 联结词的扩充与联结词完备集49

2.3.1 联结词的扩充49

2.3.2 与非、或非、异或的性质51

2.3.3 联结词完备集52

2.4 范式53

2.4.1 析取范式与合取范式53

2.4.2 主析取范式与主合取范式57

2.4.3 主范式的作用62

2.4.4 用主范式解答实际问题63

2.5 命题逻辑推理66

2.5.1 推理的形式结构66

2.5.2 推理的证明方法68

2.5.3 命题逻辑推理的实际应用71

2.6 本章小结72

2.7 习题73

第3章 谓词逻辑76

3.1 谓词逻辑的基本概念76

3.1.1 个体和谓词76

3.1.2 量词78

3.1.3 特性谓词80

3.1.4 谓词逻辑符号化81

3.2 谓词公式与翻译82

3.2.1 谓词公式82

3.2.2 谓词逻辑的翻译83

3.3 变元的约束86

3.3.1 约束变元和自由变元86

3.3.2 约束变元的换名规则87

3.3.3 自由变元的代替规则88

3.4 谓词公式的解释与分类89

3.4.1 谓词公式的解释89

3.4.2 谓词公式的分类90

3.5 谓词逻辑的等价式和前束范式91

3.5.1 谓词逻辑等价式91

3.5.2 前束范式94

3.6 谓词逻辑推理95

3.6.1 推理定律95

3.6.2 推理规则97

3.6.3 谓词逻辑推理例题98

3.7 程序正确性证明100

3.8 本章小结102

3.9 习题102

第4章 集合106

4.1 集合的基本概念106

4.1.1 集合及其表示方法106

4.1.2 集合间的关系108

4.1.3 特殊集合109

4.1.4 有限幂集元素的编码表示110

4.2 集合的基本运算111

4.3 集合恒等式113

4.4 集合的划分与覆盖115

4.5 有穷集合的计数117

4.6 本章小结118

4.7 习题119

第5章 关系121

5.1 关系的概念与表示121

5.1.1 笛卡儿积121

5.1.2 二元关系的概念123

5.1.3 关系矩阵和关系图125

5.2 复合关系和逆关系127

5.2.1 复合关系127

5.2.2 逆关系130

5.3 关系的性质131

5.4 关系的闭包135

5.5 等价关系和偏序关系136

5.5.1 等价关系136

5.5.2 偏序关系138

5.5.3 字典排序和拓扑排序141

5.6 函数143

5.6.1 函数的基本概念143

5.6.2 复合函数和逆函数145

5.6.3 几个重要的函数147

5.7 二元关系的应用148

5.7.1 等价关系的应用149

5.7.2 函数的应用149

5.8 多元关系及其应用149

5.8.1 多元关系149

5.8.2 关系数据库151

5.9 本章小结153

5.10 习题153

第6章 代数系统155

6.1 二元运算及其性质155

6.1.1 二元运算与一元运算155

6.1.2 二元运算的性质与特殊元素157

6.1.3 代数系统简介162

6.1.4 典型例题分析163

6.2 半群与群164

6.2.1 半群、独异点与群164

6.2.2 幂167

6.2.3 群的性质168

6.2.4 典型例题分析170

6.3 子群、循环群与置换群170

6.3.1 元素的周期170

6.3.2 子群171

6.3.3 循环群173

6.3.4 置换群176

6.4 陪集和正规子群178

6.4.1 陪集178

6.4.2 正规子群180

6.4.3 典型例题分析181

6.5 群的同态与同构182

6.5.1 基本概念182

6.5.2 基本性质183

6.6 环和域184

6.6.1 环184

6.6.2 域187

6.7 格187

6.7.1 格的定义187

6.7.2 格的性质189

6.7.3 几种特殊的格191

6.8 布尔代数193

6.8.1 布尔代数及其性质193

6.8.2 布尔函数与布尔表达式196

6.9 应用实例196

6.9.1 门电路196

6.9.2 逻辑电路设计197

6.10 本章小结199

6.11 习题200

第7章 图论204

7.1 图的基本概念204

7.1.1 图的定义204

7.1.2 特殊的图207

7.1.3 子图208

7.1.4 结点的度209

7.2 图的连通性211

7.2.1 路径和回路211

7.2.2 无向图的连通性212

7.2.3 有向图的连通性212

7.2.4 欧拉图213

7.2.5 哈密顿图217

7.2.6 带权图的最短路217

7.3 图的矩阵表示219

7.3.1 无向图的关联矩阵219

7.3.2 有向图的关联矩阵220

7.3.3 有向图的邻接矩阵220

7.3.4 无向图的邻接矩阵221

7.4 树222

7.4.1 无向树与生成树222

7.4.2 有向树224

7.4.3 最优二元树226

7.4.4 前缀码228

7.4.5 树的遍历230

7.5 本章小结231

7.6 习题232

第8章 算法与伪代码234

8.1 算法概述234

8.2 判断素数算法236

8.3 求最大数算法236

8.4 求最大公约数的欧几里得算法237

8.5 求拓扑排序的算法237

8.6 求欧拉路的Fleury算法239

8.7 求最短路径的Dijkstra算法240

8.8 求最小生成树的Prim算法241

8.9 求最优二元树的Huffman算法243

附录A 离散数学常用符号245

附录B 中英文名词术语对照表250

附录C 英中文名词术语对照表263

附录D 习题答案与提示275

参考文献286