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第1部分 理论背景3

第1章 编写背景3

1.1 数值分析方法的需求4

1.2 关于数值计算平台的需求：为何选择MATLAB？8

1.3 理论的需求11

进阶阅读17

参考文献18

第2章 金融理论19

2.1 不确定性建模21

2.2 基础金融资产及相关问题24

2.2.1 债券24

2.2.2 股票26

2.2.3 衍生品27

2.2.4 资产定价、投资组合优化、风险管理31

2.3 固定收益证券：价值分析与组合免疫策略36

2.3.1 基础利息理论：复利和现值36

2.3.2 固定收益证券的基础定价42

2.3.3 利率敏感性与投资组合免疫48

2.3.4 与固定收益证券相关的MATLAB函数51

2.3.5 小结55

2.4 股票投资组合管理56

2.4.1 效用理论56

2.4.2 均值-方差投资组合优化62

2.4.3 MATLAB计算均值-方差投资组合优化模型的函数64

2.4.4 小结70

2.4.5 其他风险测度：在险价值与分位数法71

2.5 资产价格的动态建模76

2.5.1 从离散时间到连续时间76

2.5.2 标准维纳过程78

2.5.3 随机积分与随机微分方程80

2.5.4 伊藤引理83

2.5.5 小结86

2.6 衍生品定价87

2.6.1 期权定价的二叉树模型90

2.6.2 布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes model）92

2.6.3 风险中性期望与费曼-卡茨（Feynman-ka？）公式95

2.6.4 布莱克-斯科尔斯模型的MATLAB计算96

2.6.5 关于布莱克-斯科尔斯公式的注解99

2.6.6 美式期权的定价100

2.7 奇异期权与路径依赖期权简介101

2.7.1 障碍期权101

2.7.2 亚式期权105

2.7.3 回望期权106

2.8 利率衍生品概述106

2.8.1 利率动态模型107

2.8.2 不完备市场和风险市场价格108

进阶阅读110

参考文献111

第2部分 数值方法115

第3章 数值分析基础115

3.1 数值计算的性质115

3.1.1 数值的表示、四舍五入和截断115

3.1.2 误差的产生、条件与不稳定性118

3.1.3 收敛阶数与计算复杂度120

3.2 求解线性方程121

3.2.1 向量与矩阵的范数122

3.2.2 矩阵的条件数125

3.2.3 线性方程组求解的直接方法129

3.2.4 三对角矩阵134

3.2.5 求解线性方程组的迭代方法135

3.3 函数逼近和插值146

3.3.1 特殊逼近149

3.3.2 初等多项式插值150

3.3.3 三次样条插值154

3.3.4 最小二乘的函数逼近理论158

3.4 非线性方程组求解161

3.4.1 二分法162

3.4.2 牛顿法164

3.4.3 基于优化的非线性方程求解167

3.4.4 求解方程组的复合方法172

3.4.5 同伦连续法172

进阶阅读174

参考文献174

第4章 数值积分：定性分析与蒙特卡罗模拟177

4.1 确定性求积179

4.1.1 经典插值公式179

4.1.2 高斯求积法181

4.1.3 扩展与乘法法则186

4.1.4 MATLAB中的数值积分186

4.2 蒙特卡罗积分187

4.3 生成伪随机变量191

4.3.1 生成伪随机数191

4.3.2 逆变换方法196

4.3.3 取舍法198

4.3.4 通过极坐标方法生成正态随机变量199

4.4 设置重复次数203

4.5 降低方差技术206

4.5.1 对偶抽样206

4.5.2 公共随机数技术213

4.5.3 控制变量214

4.5.4 通过条件降低方差216

4.5.5 分层抽样220

4.5.6 重要性抽样222

4.6 拟蒙特卡罗模拟228

4.6.1 生成哈尔顿低差异序列229

4.6.2 生成索博尔低差异序列239

进阶阅读243

参考文献244

第5章 偏微分方程的有限差分法245

5.1 偏微分方程的介绍和分类246

5.2 有限差分法的数值解248

5.2.1 一个有限差分法的错误例子250

5.2.2 有限差分法的不稳定性251

5.3 热传导方程的显式和隐式方法256

5.3.1 使用显式方法求解热传导方程257

5.3.2 使用全隐式方法求解热传导方程261

5.3.3 热传导方程的克兰克-尼科尔森（Crank-Nicolson）方法264

5.4 求解二维热传导方程266

5.5 收敛性、一致性和稳定性272

进阶阅读273

参考文献273

第6章 凸优化275

6.1 优化问题的分类276

6.1.1 有限维与无限维问题276

6.1.2 无约束与约束问题280

6.1.3 凸问题与非凸问题280

6.1.4 线性与非线性问题282

6.1.5 连续与离散问题283

6.1.6 确定性与随机性问题284

6.2 无约束优化的数值方法284

6.2.1 最速下降法285

6.2.2 梯度法286

6.2.3 牛顿法与信赖域法286

6.2.4 非导数算法：拟牛顿法与单纯形搜索287

6.2.5 非约束问题的MATLAB编程288

6.3 约束问题的优化方法290

6.3.1 罚函数法291

6.3.2 库恩-塔克（Kuhn-Tueker）条件294

6.3.3 对偶理论299

6.3.4 凯利（Kelley）切平面法303

6.3.5 有效集法304

6.4 线性规划306

6.4.1 线性规划的几何与代数特征307

6.4.2 单纯形法308

6.4.3 线性规划的对偶性310

6.4.4 内点法312

6.5 约束优化问题的MATLAB编程314

6.5.1 线性规划的MATLAB编程315

6.5.2 债券投资组合管理的LP模型317

6.5.3 使用二次规划构建投资组合的有效前沿320

6.5.4 非线性规划的MATLAB编程322

6.6 模拟与优化324

附录 凸分析基础325

附录6.1 优化问题中的凸性326

附录6.2 凸多面体328

进阶阅读330

参考文献330

第3部分 权益期权定价335

第7章 期权定价的二叉树与三叉树模型335

7.1 二叉树定价模型335

7.1.1 校准二叉树模型336

7.1.2 后付期权的定价341

7.1.3 一种二叉树模型的改进343

7.2 美式期权的二叉树定价方法345

7.3 二维期权的二叉树定价方法347

7.4 三叉树定价期权352

7.5 总结355

进阶阅读356

参考文献356

第8章 期权定价的蒙特卡罗方法357

8.1 路径生成358

8.1.1 模拟几何布朗运动359

8.1.2 模拟对冲策略361

8.1.3 布朗桥366

8.2 交换期权定价369

8.3 向下敲出式看跌期权的定价371

8.3.1 简单蒙特卡罗模拟371

8.3.2 条件蒙特卡罗模拟372

8.3.3 重要性抽样375

8.4 算术平均亚式期权的定价379

8.4.1 控制变量法379

8.4.2 哈尔顿序列的应用383

8.5 蒙特卡罗抽样法计算期权Greeks391

进阶阅读395

参考文献395

第9章 期权定价的有限差分法397

9.1 有限差分法在布莱克-斯科尔斯方程中的应用397

9.2 普通欧式期权的显式方法定价399

9.3 普通欧式期权的全隐式方法定价403

9.4 障碍期权的克兰克-尼科尔森方法定价405

9.5 美式期权的处理407

进阶阅读411

参考文献411

第4部分 高级优化模型与方法415

第10章 动态规划415

10.1 最短路问题416

10.2 连续的决策过程418

10.2.1 最优化原理和解函数方程419

10.3 用动态规划解决随机决策问题421

10.4 美式期权定价的蒙特卡罗模拟427

10.4.1 一个用MATLAB实现的最小二乘方法431

10.4.2 一些研究与替代方法434

进阶阅读435

参考文献435

第11章 有追索权的线性随机规划模型437

11.1 线性随机规划模型437

11.2 投资组合管理的多阶段随机规划模型440

11.2.1 分离变量模型442

11.2.2 紧模型448

11.2.3 有交易成本的资产和债务管理452

11.3 多阶段随机规划方案的生成453

11.3.1 方案树生成的采样454

11.3.2 无套利方案的生成456

11.4 二阶段线性随机规划的L形方法460

11.5 与动态规划的比较463

进阶阅读464

参考文献464

第12章 非凸优化467

12.1 混合整数规划模型468

12.1.1 逻辑变量建模469

12.1.2 混合整数组合优化模型472

12.2 基于全局优化的固定混合模型477

12.3 非凸优化的分支定界方法478

12.4 非凸优化的启发式算法488

进阶阅读492

参考文献493

第5部分 附录497

附录A MATLAB编程介绍497

A.1 MATLAB环境497

A.2 MATLAB图形508

A.3 MATLAB编程510

附录B 概率论与数理统计相关基础知识515

B.1 样本空间、事件与概率515

B.2 随机变量、期望与方差516

B.3 联合分布随机变量522

B.4 独立性、协方差与条件期望523

B.5 参数估计526

B.6 线性回归530

进阶阅读533

参考文献533

附录C AMPL介绍535

C.1 使用AMPL运行优化模型535

C.2 在AMPL中求解均值-方差有效组合536

C.3 在AMPL中求解背包模型539

C.4 现金流匹配模型541

进阶阅读542

参考文献542