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第一章 三维欧氏空间的曲线论1

1 曲线 曲线的切向量 弧长1

2 主法向量与从法向量曲率与挠率5

3 Frenet标架Frenet公式10

4 曲线在一点邻近的性质13

5 曲线论基本定理17

6 平面曲线的一些整体性质23

6.1 关于闭曲线的一些概念23

6.2 切线的旋转指标定理25

6.3 凸曲线32

6.4 等周不等式33

6.5 四顶点定理35

6.6 Cauchy-Crofton公式37

7 空间曲线的整体性质42

7.1 球面的Crofton公式42

7.2 Fenchel定理44

7.3 Fary-Milnor定理45

第二章 三维欧氏空间中曲面的局部几何性质49

1 曲面的表示 切向量 法向量49

1.1 曲面的定义49

1.2 切向量 切平面50

1.3 法向量52

1.4 曲面的参数变换53

1.5 例54

1.6 单参数曲面族 平面族的包络面 可展曲面59

2 曲面的第一、第二基本形式64

2.1 曲面的第一基本形式64

2.2 曲面的正交参数曲线网68

2.3 等距对应 曲面的内蕴几何学70

2.4 共形对应71

2.5 曲面的第二基本形式77

3 曲面上的活动标架 曲面的基本公式80

3.1 省略和式记号的约定80

3.2 曲面上的活动标架曲面的基本公式81

3.3 Weingarten变换W85

3.4 曲面的共轭方向 渐近方向 渐近曲线86

4 曲面上的曲率88

4.1 曲面上曲线的法曲率88

4.2 主方向 主曲率90

4.3 Dupin标线91

4.4 曲率线92

4.5 主曲率及曲率线的计算总曲率 平均曲率94

4.6 曲率线网99

4.7 曲面在一点邻近处的形状100

4.8 Gauss映射及第三基本形式102

4.9 总曲率、平均曲率满足某些性质的曲面105

5 曲面的基本方程及曲面论的基本定理110

5.1 曲面的基本方程110

5.2 曲面论的基本定理114

6 测地曲率 测地线120

6.1 测地曲率向量测地曲率120

6.2 计算测地曲率的Liouville公式121

6.3 测地线124

6.4 法坐标系 测地极坐标系 测地坐标系128

6.5 应用134

6.6 测地挠率139

6.7 Gauss-Bonnet公式141

7 曲面上向量的平行移动144

7.1 向量沿曲面上一条曲线的平行移动绝对微分144

7.2 绝对微分的运算性质147

7.3 自平行曲线147

7.4 向量绕闭曲线一周的平行移动 总曲率的又一种表示148

7.5 沿曲面上曲线的平行移动与欧氏平面中平行移动的关系150

第三章 曲面的整体性质初步152

1 曲面的整体表述152

2 曲面上的Gauss-Bonnet公式159

3 向量场165

4 球面的刚性173

5 极小曲面176

6 完备曲面Hopf-Rinow定理182

7 微分流形 黎曼流形188

附录1 向量函数及其运算199

1 向量代数199

2 向量函数 极限200

3 向量函数的微分201

4 向量函数的积分202

附录2 欧氏空间的点集拓扑203

1 n维欧氏空间 开集 闭集203

2 连续映射205

3 连通集206

4 紧致集208

5 拓扑空间210

5.1 拓扑空间的定义210

5.2 拓扑空间中的闭集212

5.3 拓扑结构的等价性212

5.4 第二可列基公理212

5.5 Hausdorff空间213

5.6 连续映射 同胚映射213

5.7 向量空间的拓扑213

附录3 微分几何的发展简史214

索引217