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第一模块 微积分1

第1章 函数与极限1

1.1 函数1

1.1.1 函数的概念1

1.1.2 函数表示法2

1.1.3 函数的几种特性3

1.1.4 基本初等函数4

1.1.5 复合函数与反函数8

1.1.6 初等函数8

1.1.7 常见的经济函数9

1.2 极限10

1.2.1 数列的极限10

1.2.2 函数的极限11

1.3 极限的运算法则13

1.4 极限存在准则及两个重要极限15

1.4.1 极限存在准则15

1.4.2 两个重要极限16

1.5 无穷小量与无穷大量18

1.5.1 无穷小量18

1.5.2 无穷大量20

1.5.3 无穷小量与无穷大量的关系21

1.6 函数的连续性21

1.6.1 函数连续的概念21

1.6.2 函数的间断点22

1.6.3 初等函数的连续性23

1.6.4 闭区间上连续函数的性质25

1.7 MATLAB软件简介26

1.7.1 用户界面介绍26

1.7.2 MATLAB的帮助系统：help命令、lookfor命令27

1.7.3 命令行编辑入门28

1.7.4 运算符29

1.7.5 MATLAB程序流程控制语句30

1.7.6 M文件31

第2章 导数与微分33

2.1 导数的概念33

2.1.1 导数概念的引例33

2.1.2 导数的定义34

2.1.3 求导数举例34

2.1.4 导数的几何意义及其应用35

2.1.5 函数的可导性与连续性的关系36

2.2 导数的四则运算与反函数的求导法则38

2.2.1 导数的四则运算法则38

2.2.2 反函数的求导法则39

2.3 复合函数和初等函数的导数40

2.3.1 复合函数的求导法则40

2.3.2 导数公式与基本求导法则41

2.4 几种特殊的求导法42

2.4.1 隐函数的求导法42

2.4.2 对数求导法43

2.4.3 参数方程所确定函数的求导法44

2.5 高阶导数45

2.6 微分46

2.6.1 微分的概念46

2.6.2 微分的几何意义47

2.6.3 微分公式与微分法则48

2.7 数学实验：利用MATLAB计算导数51

第3章 导数的应用52

3.1 微分中值定理52

3.1.1 罗尔中值定理52

3.1.2 拉格朗日中值定理52

3.1.3 柯西中值定理53

3.2 洛必达法则54

3.3 函数的单调性和曲线的凹凸性57

3.3.1 函数的单调性57

3.3.2 曲线的凹凸性58

3.4 函数的极值60

3.4.1 函数极值的定义60

3.4.2 函数极值的求法61

3.5 函数的最值及其应用62

3.5.1 函数最大值、最小值的判定62

3.5.2 求最大值、最小值的应用实例63

3.6 函数图形的描绘64

3.6.1 渐近线的概念65

3.6.2 函数图形的描绘65

3.7 导数在经济中的应用67

3.7.1 边际函数67

3.7.2 弹性函数68

3.8 MATLAB的微分实验方法69

3.8.1 利用MATLAB求极值、最值运算70

3.8.2 MATLAB绘图简介72

第4章 不定积分75

4.1 不定积分的概念和性质75

4.1.1 原函数的概念75

4.1.2 不定积分的概念75

4.1.3 不定积分的几何意义76

4.1.4 不定积分的性质77

4.2 直接积分法78

4.2.1 基本积分公式78

4.2.2 直接积分法79

4.3 换元积分法80

4.3.1 第一类换元积分法（凑微分法）80

4.3.2 第二类换元积分法82

4.4 分部积分法83

第5章 定积分及其应用87

5.1 定积分的概念87

5.1.1 引例：曲边梯形的面积87

5.1.2 定积分的定义88

5.1.3 定积分的几何意义89

5.2 定积分的简单性质90

5.3 微积分基本公式92

5.3.1 变上限的积分及其导数92

5.3.2 微积分基本公式93

5.4 定积分的换元积分法与分部积分法94

5.4.1 换元积分法94

5.4.2 分部积分法96

5.5 定积分的几何应用97

5.5.1 定积分的元素法97

5.5.2 平面图形的面积97

5.5.3 旋转体的体积99

5.6 广义积分100

5.6.1 无穷区间上的广义积分100

5.6.2 无界函数的广义积分101

5.7 MATLAB的积分运算103

第二模块 微分方程108

第6章 常微分方程108

6.1 基本概念108

6.1.1 微分方程的定义108

6.1.2 微分方程的解109

6.2 一阶微分方程110

6.2.1 可分离变量的微分方程110

6.2.2 一阶线性微分方程112

6.2.3 齐次微分方程115

6.3 可降阶的高阶微分方程116

6.3.1 类型Ⅰ y(n)＝f（x）116

6.3.2 类型Ⅱ（不显含y的方程） y″＝f（x,y′）116

6.3.3 类型Ⅲ（不显含x的方程） y″＝f（y,y′）117

6.4 二阶常系数齐次线性微分方程117

6.4.1 二阶线性微分方程的解的结构117

6.4.2 二阶常系数齐次线性微分方程的通解求法118

6.5 二阶常系数非齐次线性微分方程120

6.5.1 二阶常系数非齐次线性微分方程通解的结构120

6.5.2 f（x）＝Pn（x）型121

6.5.3 f（x）＝Aeax型122

6.5.4 f（x）＝eax（Acos ωx+Bsin ωx）型122

第三模块 线性代数125

第7章 线性代数初步125

7.1 行列式125

7.1.1 行列式的概念125

7.1.2 行列式的性质与计算130

7.1.3 克莱姆法则133

7.2 矩阵136

7.2.1 矩阵的概念136

7.2.2 矩阵的运算138

7.2.3 矩阵的初等变换与矩阵的秩143

7.2.4 逆矩阵146

7.3 线性方程组149

7.3.1 线性方程组的高斯消元法149

7.3.2 线性方程组解的判定152

7.4 MATLAB线性代数应用154

7.4.1 MATLAB中的矩阵154

7.4.2 线性方程组的解155

第四模块 积分变换158

第8章 傅里叶变换158

8.1 傅里叶变换的概念和性质158

8.1.1 傅里叶积分158

8.1.2 傅里叶变换的概念160

8.2 δ函数及其傅里叶变换162

8.2.1 δ函数的定义162

8.2.2 δ函数的性质164

8.2.3 δ函数的傅里叶变换164

8.2.4 一些常见函数的傅里叶变换和一些傅里叶变换对165

8.3 傅里叶变换的性质167

8.3.1 线性性质167

8.3.2 对称性质167

8.3.3 相似性性质167

8.3.4 平移性质168

8.3.5 微分性质170

8.3.6 积分性质171

8.3.7 傅里叶变换的卷积与卷积定理171

第9章 拉普拉斯变换174

9.1 拉氏变换概述174

9.1.1 拉氏变换的基本概念174

9.1.2 几个常用函数的拉氏变换175

9.1.3 周期函数的拉氏变换177

9.2 拉氏变换的基本性质177

9.3 拉氏变换的逆变换183

9.3.1 一些常用函数的拉氏逆变换183

9.3.2 拉氏逆变换的基本性质183

9.3.3 利用拉氏逆变换公式和性质求拉氏逆变换184

9.3.4 利用留数定理求拉氏逆变换184

9.4 拉氏变换的应用举例185

第五模块 级数187

第10章 无穷级数187

10.1 常数项级数的概念与性质187

10.1.1 常数项级数的基本概念187

10.1.2 收敛级数的基本性质188

10.2 常数项级数的审敛法190

10.2.1 正项级数的收敛判别法（n＝1,2,…）190

10.2.2 交错级数及其收敛判别法192

10.2.3 绝对收敛与条件收敛193

10.3 幂级数194

10.3.1 幂级数及其收敛性194

10.3.2 幂级数的收敛半径与收敛区间195

10.3.3 幂级数的运算197

10.4 函数展开成幂级数198

10.4.1 泰勒级数198

10.4.2 函数的幂级数展开法199

附录 积分表202

参考文献211