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第一章 行列式1

知识点结构图1

学习要求1

1.1 内容概述1

1.2 难点、疑点解析及重要公式与结论4

1.3 典型例题7

基础过关题7

题型Ⅰ 排列逆序数的计算7

题型Ⅱ n阶行列式的概念9

题型Ⅲ 低阶行列式的计算12

题型Ⅳ 行列式按行（列）展开定理的应用14

题型Ⅴ n阶行列式的计算15

题型Ⅵ 利用范德蒙行列式进行计算20

题型Ⅶ 克莱姆法则的应用21

历年真题精选精解24

拓展提高题28

精选习题一42

精选习题一答案44

第二章 矩阵48

知识点结构图48

学习要求49

2.1 内容概述49

2.2 难点、疑点解析及重要公式与结论58

2.3 典型例题63

基础过关题63

题型Ⅰ 矩阵的乘法运算问题63

题型Ⅱ 逆矩阵的计算与证明67

题型Ⅲ 求方阵的行列式83

题型Ⅳ 涉及伴随矩阵的计算与证明88

题型Ⅴ 解矩阵方程93

题型Ⅵ 有关初等矩阵的命题96

题型Ⅶ 有关矩阵秩的计算与证明99

历年真题精选精解104

拓展提高题109

精选习题二119

精选习题二答案123

第三章 向量135

知识点结构图135

学习要求136

3.1 内容概述136

3.2 难点、疑点解析及重要公式与结论144

3.3 典型例题147

基础过关题147

题型Ⅰ 判定向量组的线性相关性147

题型Ⅱ 已知一组向量线性无关，讨论另一组向量的线性相关性152

题型Ⅲ 把一个向量用一组向量线性表示158

题型Ⅳ 求向量组的极大线性无关组与秩167

题型Ⅴ 有关向量空间的命题171

历年真题精选精解172

拓展提高题178

精选习题三184

精选习题三答案186

第四章 线性方程组195

知识点结构图195

学习要求196

4.1 内容概述196

4.2 难点、疑点解析及重要公式与结论199

4.3 典型例题202

基础过关题202

题型Ⅰ 有关解的判定、性质和结构的问题202

题型Ⅱ 不含参数的线性方程组的求解205

题型Ⅲ 含有参数的线性方程组的求解209

题型Ⅳ 利用方程组求解向量的线性组合219

题型Ⅴ 抽象线性方程组的求解221

历年真题精选精解222

拓展提高题235

精选习题四245

精选习题四答案249

第五章 特征值与特征向量262

知识点结构图262

学习要求262

5.1 内容概述263

5.2 难点、疑点解析及重要公式与结论266

5.3 典型例题269

基础过关题269

题型Ⅰ 数值矩阵特征值、特征向量的计算269

题型Ⅱ 抽象矩阵求特征值273

题型Ⅲ 矩阵特征值、特征向量逆问题的讨论278

题型Ⅳ 特征值与特征向量有关命题的证明284

题型Ⅴ 矩阵相似与对角化285

题型Ⅵ 有关相似矩阵命题的证明295

题型Ⅶ 有关实对称矩阵的命题297

题型Ⅷ 特征值、特征向量的应用300

历年真题精选精解307

拓展提高题318

精选习题五328

精选习题五答案330

第六章 二次型336

知识点结构图336

学习要求336

6.1 内容概述337

6.2 难点、疑点解析及重要公式与结论343

6.3 典型例题345

基础过关题347

题型Ⅰ 基本概念题（有关二次型的矩阵、秩及正、负惯性指数）345

题型Ⅱ 化二次型为标准形347

题型Ⅲ 合同变换与合同矩阵358

题型Ⅳ 有关正定二次型（正定矩阵）命题的求证359

历年真题精选精解364

拓展提高题371

精选习题六377

精选习题六答案378

第七章 线性空间与线性变换380

知识点结构图380

学习要求380

7.1 内容概述380

7.2 典型例题383

基础过关题383

题型Ⅰ 判断一个向量集合是否构成向量空间383

题型Ⅱ 求向量空间的基（底）与维数384

题型Ⅲ 求过渡矩阵与向量的坐标388

题型Ⅳ 有关向量空间命题的证明395

题型Ⅴ 有关正交矩阵的证明396

题型Ⅵ 验证一个集合是否构成线性空间398

题型Ⅶ 验证子集合是否为子空间399

题型Ⅷ 求线性空间的基与维数401

题型Ⅸ 求线性空间的基变换矩阵与坐标402

题型Ⅹ 验证线性变换并求其在一组基下的矩阵405

题型Ⅺ 有关线性空间命题的证明407

精选习题七409

精选习题七答案412