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预备知识 函数1

1 实数1

一、实数集1

二、绝对值3

三、邻域3

习题0．14

2 函数4

一、函数概念4

二、函数的几个常用性质8

习题0．211

3 复合函数13

习题0．314

4 反函数15

习题0．417

5 初等函数17

一、基本初等函数17

二、初等函数22

习题0．522

6 双曲函数23

习题0．625

补充题25

阅读材料一 函数概念的形成与发展26

第一章 极限28

1 数列的极限28

习题1．133

2 函数的极限33

一、自变量趋向无穷大时函数的极限33

二、自变量趋向定值时函数的极限35

三、左极限与右极限37

习题1．238

3 无穷小量与无穷大量39

一、无穷小量39

二、无穷大量41

习题1．344

4 关于极限的几个定理45

习题1．446

5 极限运算法则46

一、无穷小的运算性质47

二、极限四则运算法则48

习题1．552

6 极限存在准则两个重要极限54

一、夹逼准则54

二、单调有界准则58

三、柯西60

极限存在准则62

习题1．663

7 无穷小的比较63

习题1．766

8 函数的连续性66

一、函数的连续性概念67

二、函数的间断点68

习题1．870

9 连续函数的运算与初等函数的连续性71

一、连续函数的和、差、积、商的连续性71

二、连续函数的反函数72

三、连续函数的复合函数72

四、初等函数的连续性74

习题1．975

10 闭区间上连续函数的性质75

一、最大值最小值定理75

二、介值定理77

三、函数的一致连续性78

习题1．1079

补充题79

阅读材料二 极限概念的形成80

第二章 导数与微分81

1 导数概念81

一、关于变化率的例81

二、导数的定义83

三、按定义求导数举例84

四、导数的几何意义88

习题2．189

2 初等函数的导数90

一、导数的四则运算法则91

二、复合函数的求导法则93

三、反函数的导数97

四、初等函数求导的基本公式和法则99

习题2．2100

3 高阶导数102

习题2．3106

4 隐函数及参量函数的导数相关变化率107

一、隐函数的导数107

二、参量函数的导数110

三、相关变化率112

习题2．4113

5 函数的微分114

一、微分115

二、微分的几何意义117

三、一阶微分形式不变性微分公式117

习题2．5120

6 微分在近似计算上的应用121

一、函数的近似公式121

二、函数的误差估计122

习题2．6123

补充题124

阅读材料三 生动的直观确切的概念125

第三章 导数的应用126

1 中值定理126

一、罗尔定理126

二、拉格朗日中值定理127

三、柯西中值定理130

习题3．1131

2 罗必塔法则133

习题3．2138

3 泰勒公式139

习题3．3143

4 函数的单调性144

习题3．4148

5 函数的极值149

一、函数的极值149

二、最大值与最小值问题153

习题3．5154

6 曲线的凹凸与拐点156

习题3．6159

7 渐近线160

习题3．7163

8 函数图形的描绘163

习题8．8167

9 曲率167

一、弧长的微分167

二、曲率169

三、曲率圆172

四、曲率中心的计算公式173

五、渐屈线与渐伸线174

习题3．9175

10 方程的近似解175

一、弦位法175

二、切线法177

习题3．10179

补充题179

阅读材料四 不等式的微分证法181

第四章 不定积分186

1 不定积分的概念186

2 基本积分表和不定积分的性质188

习题4．2191

3 换元积分法193

一、第一换元法193

二、第二换元法198

习题4．3202

4 分部积分法203

习题4．4208

5 几种特殊类型函数的积分209

一、有理函数的积分209

二、三角函数的有理式的积分214

三、某些简单无理函数的积分216

习题4．5218

6 积分表的使用219

习题4．6221

7 不定积分的基本方法概述222

补充题224

阅读材料五 分部积分法的一个分部经验225

第五章 定积分227

1 定积分概念227

一、定积分问题的例227

二、定积分的定义230

三、定积分的几何意义232

习题5．1233

2 定积分的性质234

习题5．2238

3 微积分基本公式239

习题5．3245

4 定积分的换元法与分部积分法247

一、定积分的换元法247

二、定积分的分部积分法253

习题5．4255

5 定积分的近似计算258

一、矩形法与梯形法258

二、抛物线法260

习题5．5262

6 广义积分263

一、无穷限的广义积分263

二、无界函数的广义积分266

习题5．6269

补充题270

阅读材料六 微积分史简述272

第六章 定积分的应用274

1 微元分析法274

2 平面图形的面积276

一、直角坐标系中的面积公式276

二、极坐标系中的面积公式279

习题6．2280

3 体积281

一、平行截面面积为已知的立体体积281

二、旋转体的体积282

习题6．3285

4 平面曲线的弧长286

习题6．4290

5 旋转体的侧面积290

6 功引力液体静压力292

一、变力沿直线作功292

二、引力294

三、液体的静压力295

习题6．6295

7 函数的平均值296

习题6．7298

补充题298

第七章 矢量代数与空间解析几何299

1 空间直角坐标系299

一、空间直角坐标系299

二、两点间的距离300

三、方程的几何意义301

习题7．1303

2 矢量基本概念303

习题7．2306

3 矢量的运算306

一、矢量的加减法306

二、矢量的数乘308

三、矢量的数积310

四、矢量的矢积310

五、矢量的混合积313

习题7．3314

4 平面与直线316

一、平面的方程316

二、空间直线的方程319

三、点、直线、平面的位置关系322

四、平面束324

习题7．4325

5 一些空间曲面与曲线327

一、柱面327

二、旋转曲面329

三、锥面331

四、几种常见的二次曲面332

五、空间曲线的参数方程336

六、空间曲线在坐标平面上的投影338

七、空间区域的简图340

习题7．5341

补充题343

阅读材料七 二次曲面的分类344

附表 基本积分公式、积分表346

习题答案361