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第1章　命题逻辑1

1.1　命题及其表示1

1.1.1　命题的基本概念1

1.1.2　命题分类2

1.1.3　命题标识符2

习题1.12

1.2　逻辑联结词2

1.2.1　否定联结词3

1.2.2　合取联结词3

1.2.3　析取联结词3

1.2.4　条件联结词4

1.2.5　双条件联结词4

习题1.25

1.3　命题公式与翻译5

1.3.1　命题公式5

1.3.2　命题的符号化6

习题1.37

1.4　真值表与等价公式8

1.4.1　真值表8

1.4.2　等价公式9

习题1.413

1.5　命题公式的分类与蕴含式13

1.5.1　命题公式的分类13

1.5.2　重言式与矛盾式的性质14

1.5.3　蕴含式14

习题1.516

1.6　其他逻辑联结词和最小功能完备联结词组17

1.6.1　其他逻辑联结词17

1.6.2　最小功能完备联结词组18

习题1.619

1.7　对偶与范式19

1.7.1　对偶式与对偶原理19

1.7.2　命题公式的范式20

1.7.3　命题公式的主析取范式和主合取范式22

习题1.730

1.8　推理理论30

1.8.1　直接证法31

1.8.2　间接证法33

习题1.835

第2章　谓词逻辑36

2.1　谓词的概念与表示36

2.1.1　个体和谓词36

2.1.2　量词38

习题2.139

2.2　谓词公式与翻译39

2.2.1　谓词公式39

2.2.2　谓词公式的翻译39

习题2.241

2.3　变元的约束41

习题2.343

2.4　谓词演算的等价式与蕴含式43

2.4.1　谓词公式的赋值43

2.4.2　谓词公式的分类44

2.4.3　谓词演算的等价式45

2.4.4　谓词演算的蕴含式48

习题2.450

2.5　谓词公式范式50

2.5.1　前束范式50

2.5.2　前束析取范式和前束合取范式52

2.5.3　斯柯林范式53

习题2.553

2.6　谓词演算的推理理论53

习题2.658

第3章　集合与关系59

3.1　集合的基本概念59

3.1.1　集合与元素59

3.1.2　集合间的关系60

3.1.3　幂集61

习题3.162

3.2　集合的运算63

3.2.1　集合的交与并63

3.2.2　集合的差与补65

3.2.3　集合的对称差67

习题3.269

3.3　包含排斥原理70

3.4　序偶与笛卡尔积73

3.4.1　序偶73

3.4.2　笛卡尔积74

习题3.476

3.5　关系及其表示76

3.5.1　关系的定义76

3.5.2　几种特殊的关系77

3.5.3　关系的表示78

习题3.580

3.6　关系的性质及其判定方法80

3.6.1　关系的性质80

3.6.2　由关系图、关系矩阵判别关系的性质82

习题3.683

3.7　复合关系和逆关系84

3.7.1　复合关系84

3.7.2　复合关系的矩阵表示及图形表示86

3.7.3　逆关系87

习题3.789

3.8　关系的闭包运算90

习题3.895

3.9　等价关系与相容关系96

3.9.1　集合的划分和覆盖96

3.9.2　等价关系与等价类97

3.9.3　相容关系102

习题3.9104

3.10　偏序关系105

3.10.1　偏序关系的定义105

3.10.2　偏序关系的哈斯图105

3.10.3　偏序集中特殊位置的元素107

3.10.4　两种特殊的偏序集109

习题3.10110

第4章　映射111

4.1　映射的概念111

习题4.1114

4.2　特殊映射115

习题4.2116

4.3　复合映射和逆映射117

4.3.1　复合映射117

4.3.2　逆映射120

习题4.3121

4.4　置换122

习题4.4123

4.5　特征函数124

习题4.5125

4.6　基数126

4.6.1　无限集合126

4.6.2　基数的概念126

4.6.3　可数集与不可数集128

习题4.6130

第5章　代数结构131

5.1　代数系统的概念131

5.1.1　n元运算131

5.1.2　代数系统的概念133

习题5.1134

5.2　二元运算135

5.2.1　二元运算的性质135

5.2.2　集合A的关于二元代数运算的特异元素139

5.2.3　利用运算表判断代数运算的性质143

习题5.2144

5.3　半群145

5.3.1　半群及其性质145

5.3.2　含幺半群及其性质148

习题5.3149

5.4　群与子群151

5.4.1　群的基本概念151

5.4.2　群的基本性质152

5.4.3　群的元素的阶155

5.4.4　子群156

习题5.4158

5.5　阿贝尔群和循环群159

5.5.1　阿贝尔群159

5.5.2　循环群159

5.5.3　置换群161

习题5.5162

5.6　代数系统的同态与同构162

习题5.6166

5.7　拉格朗日定理与同态基本定理167

5.7.1　陪集与拉格朗日定理168

5.7.2　正规子群、商群和同态基本定理171

习题5.7174

5.8　环与域174

5.8.1　环174

5.8.2　域176

习题5.8178

5.9　群在编码理论中的应用178

习题5.9184

第6章　格与布尔代数185

6.1　格的概念及性质185

6.1.1　格的概念185

6.1.2　格的性质188

习题6.1194

6.2　分配格与模格195

6.2.1　分配格195

6.2.2　模格197

习题6.2198

6.3　有界格与有补格199

6.3.1　有界格199

6.3.2　有补格200

习题6.3201

6.4　布尔代数202

6.4.1　布尔代数的概念202

6.4.2　布尔代数的性质203

6.4.3　子布尔代数206

6.4.4　布尔代数的同态与同构207

6.4.5　有限布尔代数的原子表示209

习题6.4212

6.5　布尔表达式与布尔函数214

6.5.1　布尔表达式214

6.5.2　布尔函数219

习题6.5220

6.6　布尔函数在电路设计中的应用221

习题6.6222

第7章　图论223

7.1　图的基本概念223

7.1.1　图223

7.1.2　补图与子图226

7.1.3　节点的度数228

7.1.4　图的同构229

习题7.1231

7.2　路与图的连通性232

7.2.1　路与回路232

7.2.2　图的连通性234

习题7.2238

7.3　图的矩阵表示239

7.3.1　邻接矩阵239

7.3.2　可达性矩阵241

7.3.3　完全关联矩阵243

习题7.3244

7.4　欧拉图与汉密尔顿图245

7.4.1　欧拉图245

7.4.2　汉密尔顿图248

习题7.4252

7.5　二部图及匹配253

7.5.1　二部图253

7.5.2　匹配255

习题7.5259

7.6　平面图259

7.6.1　平面图的定义259

7.6.2　欧拉公式261

7.6.3　平面图的着色264

习题7.6267

7.7　树与生成树268

7.7.1　无向树268

7.7.2　无向图中的生成树与最小生成树270

习题7.7273

7.8　根树及其应用274

7.8.1　有向树274

7.8.2　m叉树275

7.8.3　最优二叉树278

7.8.4　二叉树在计算机中的应用278

习题7.8283

7.9　最短路问题283

7.9.1　问题的提出283

7.9.2　Dijkstra算法（双标号法）284

7.9.3　无向图上的Dijkstra算法286

习题7.9286

参考文献287