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第一章 实分析基础1

1 集合与映射1

1.1 集合及其运算1

1.2 映射4

1.3 可数集与不可数集8

2 实数与连续函数的某些性质13

2.1 实数的完备性13

2.2 开集与闭集19

2.3 函数的一致连续与函数列的一致收敛性24

3 可测集与可测函数31

3.1 直线上集合的勒贝格测度31

3.2 可测函数及其性质39

3.3 可测函数与连续函数的关系 依测度收敛43

4 勒贝格积分48

4.1 勒贝格积分的定义48

4.2 勒贝格积分的性质54

4.3 函数序列积分的收敛定理57

5 几具常用不等式65

第二章 度量空间72

1 度量空间的定义72

2 度量空间的拓扑性质79

2.1 开集、闭集与邻域79

2.2 度量空间中点列的收敛性83

2.3 映射的连续与一致连续性83

3 完备性93

3.1 完备性概念94

3.2 常见的完备空间96

3.3 完备性等价命题 度量空间的完备化99

4 列紧性与紧性104

4.1 紧性104

4.2 列紧性与全有界性109

4.3 紧集上连续泛函的性质115

5 可分性118

第三章 赋范线性空间及其上的线性算子125

1 赋范线性空间与Banach空间125

1.1 线性空间、线性算子与线性泛函125

1.2 赋范线性空间与Banach空间131

1.3 赋范线性空间的基本性质134

1.4 有限维赋范线性空间的性质与特征136

2 有界线性算子144

2.1 有界线性算子及其范数144

2.2 有界线性算子的空间153

2.3 紧算子157

3 有界线性泛函163

3.1 有界线性泛函与共轭空间163

3.2 某些具体空间上有界线性泛函的表示166

4 泛函分析的几个基本定理简介172

5 共轭空间与伴随算子182

5.1 二次共轭空间与自反空间182

5.2 伴随算子及其性质183

6 弱收敛与弱＊收敛188

6.1 点列的强收敛与弱收敛188

6.2 泛函序列的强收敛与弱＊收敛191

7 有界线性算子谱理论初步195

7.1 谱的概念及基本性质195

7.2 Riesz-Schauder理论简介203

第四章 Hilbert空间及其上的线性算子208

1 Hilbert空间的几何学208

1.1 定义与基本性质208

1.2 正交分解与投影定理216

1.3 内积空间中的正交系220

1.4 可分Hilbert空间的模型228

2 Hilbert空间上的有界线性泛函231

3 Hilbert空间上的伴随算子和自伴算子236

3.1 伴随算子236

3.2 自伴算子241

4 Hilbert空间上的几种算子245

4.1 投影算子245

4.2 西算子248

4.3 正常算子251

5 Hilbert空间上自伴算子的谱性质255

第五章 泛函分析的一些应用265

1 压缩映射原理及其应用265

1.1 压缩映射原理266

1.2 应用举例268

2 不动点定理及其应用277

2.1 Brouwer与Schauder不动点定理277

2.2 应用举例278

3 第二型Fredholm积分方程287

3.1 正则值与解核287

3.2 Fredholm定理290

3.3 Hilbert-Schmidt定理294

4 最佳逼近与投影定理的应用298

4.1 最佳逼近的存在性与惟一性298

4.2 C[α, b]中最佳逼近的惟一性与Chebyshev多项式302

4.3 投影定理的应用举例305

4.4 最小二乘法308

答案与提示311

参考书目326

后记327