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什么是数学1

第1章 自然数6

引言6

1 整数的计算7

1.算术的规律7

2.整数的表示10

3.非十进位制中的计算13

2 数系的无限性 数学归纳法15

1.数学归纳法原理15

2.等差级数18

3.等比级数19

4.前n项平方和21

5.一个重要的不等式22

6.二项式定理23

7.再谈数学归纳法26

第1章 补充 数论29

引言29

1 素数29

1.基本事实29

2.素数的分布34

2 同余41

1.一般概念41

2.费马定理46

3.二次剩余48

3 毕达哥拉斯数和费马大定理50

4 欧几里得辗转相除法53

1.一般理论53

2.在算术基本定理上的应用58

3.欧拉函数？ 再谈费马定理59

4.连分数 丢番都方程61

第2章 数学中的数系64

引言64

1 有理数64

1.作为度量工具的有理数64

2.数学内部对有理数的需要 推广的原则67

3.有理数的几何解释69

2 不可公度线段 无理数和极限概念71

1.引言71

2.十进位小数 无限小数74

3.极限 无穷等比级数76

4.有理数和循环小数80

5.用区间套给出无理数的一般定义82

6.定义无理数的另一个方法 戴特金分割85

3 解析几何概述86

1.基本原理86

2.直线方程和曲线方程88

4 无限的数学分析91

1.基本概念91

2.有理数的可数性和连续统的不可数性93

3.康托的“基数”97

4.反证法100

5.有关无限的悖论101

6.数学的基础102

5 复数103

1.复数的起源103

2.复数的几何解释107

3.棣莫弗公式和单位根112

4.代数基本定理115

6 代数数和超越数118

1.定义和存在性118

2.柳维尔定理和超越数的构造119

第2章 补充 集合代数124

1.一般理论124

2.在数理逻辑中的应用129

3.在概率论中的一个应用130

第3章 几何作图 数域的代数134

引言134

第1部分 不可能性的证明和代数138

1 基本几何作图138

1.域的构作和开平方根138

2.正多边形140

3.阿波罗尼斯问题143

2 可作图的数和数域145

1.一般理论145

2.可作图的数都是代数数152

3 三个不可解的希腊问题153

1.倍立方体问题153

2.关于三次方程的一个定理155

3.三等分任意角157

4.正七边形159

5.关于化圆为方的问题160

第2部分 作图的各种方法161

4 几何变换 反演161

1.一般说明161

2.反演的性质162

3.反演点的几何作图164

4.只用圆规如何二等分一线段及求圆心165

5 用其他工具作图 只用圆规的马歇罗尼作图166

1.倍立方体的古典作图166

2.只限于用圆规167

3.用机械工具作图 机械曲线 旋轮线172

4.连杆 波西里叶和哈特的反演器174

6 再谈反演及其应用176

1.角的不变性 圆族176

2.在阿波罗尼斯问题上的应用179

3.重复反射180

第4章 射影几何 公理体系 非欧几里得几何182

1 引言182

1.几何性质的分类 变换下的不变性182

2.射影变换184

2 基本概念185

1.射影变换群185

2.笛沙格定理186

3 交比188

1.定义和不变性的证明188

2.在完全四边形上的应用193

4 平行性和无穷远195

1.作为“理想点”的无穷远点195

2.理想元素和射影197

3.含有无穷远元素的交比199

5 应用200

1.初步说明200

2.平面上笛沙格定理的证明201

3.巴斯嘉定理202

4.布利安桑定理203

5.对偶性简介204

6 解析表示205

1.初步说明205

2.齐次坐标 对偶性的代数基础206

7 只用直尺的作图问题210

8 二次曲线和二次曲面212

1.二次曲线的初等度量几何212

2.二次曲线的射影性质215

3.二次曲线看作线曲线218

4.关于二次曲线的巴斯嘉和布利安桑的一般定理221

5.双曲面223

9 公理体系和非欧几何224

1.公理方法224

2.双曲非欧几里得几何228

3.几何与现实232

4.庞加莱的模型233

5.椭圆几何或黎曼几何234

附录 高维空间中的几何学236

1.引言236

2.解析的方法236

3.几何的方法或组合的方法239

第5章 拓扑学243

引言243

1 多面体的欧拉公式244

2 图形的拓扑性质248

1.拓扑性质248

2.连通性251

3 拓扑定理的其他例子252

1.若当曲线定理252

2.四色问题253

3.维的概念255

4.不动点定理258

5.纽结262

4 曲面的拓扑分类263

1.曲面的亏格263

2.曲面的欧拉示性数265

3.单侧曲面266

附录270

1.五色定理270

2.多边形的若当曲线定理273

3.代数基本定理275

第6章 函数和极限278

引言278

1 变量和函数279

1.定义和例子279

2.角的弧度制284

3.函数的图像 反函数285

4.复合函数288

5.连续性290

6.多元函数292

7.函数和变换295

2 极限296

1.序列an的极限296

2.单调序列302

3.欧拉数e305

4.数π307

5.连分数309

3 连续趋近的极限312

1.引言 一般定义312

2.极限概念的评述314

3.sin x/x的极限316

4.当x→∞时的极限318

4 连续性的精确定义320

5 有关连续函数的两个基本定理323

1.布尔查诺定理323

2.布尔查诺定理的证明323

3.维尔斯特拉斯极值定理324

4.有关序列的一个定理 紧致集326

6 布尔查诺定理的一些应用328

1.几何上的应用328

2.力学问题上的一个应用330

第6章 补充 极限和连续的一些例题333

1 极限的例题333

1.一般说明333

2.qn的极限334

3.n？p的极限335

4.不连续函数当作连续函数的极限337

5.极限的叠代求法338

2 连续性的例题340

第7章 极大与极小342

引言342

1 初等几何中的问题343

1.两边给定求面积极大的三角形343

2.赫伦定理光线的极值性质343

3.三角形问题上的应用345

4.椭圆和双曲线的切线性质 相应的极值性质346

5.到给定曲线的距离的极值349

2 基本极值问题的一般原则351

1.原则351

2.例题352

3 驻点与微分学354

1.极值和驻点354

2.多元函数的极大和极小鞍点355

3.极小极大点和拓扑学356

4.点到曲面的距离357

4 施瓦茨的三角形问题358

1.施瓦茨的证明358

2.另一种证法360

3.钝角三角形362

4.由光线形成的三角形363

5.有关反射和遍历运动的说明364

5 施泰纳问题365

1.问题及解答365

2.两种不同情况的分析367

3.一个补充问题368

4.说明与习题369

5.推广到道路网问题370

6 极值与不等式371

1.两个正量的算术平均和几何平均372

2.推广到n个变量373

3.最小二乘法375

7 极值的存在性 狄里赫莱原理377

1.一般说明377

2.例题379

3.初等极值问题381

4.比较复杂情形中所存在的困难382

8 等周问题383

9 带有边界条件的极值问题 施泰纳问题和等周问题之间的联系386

10 变分法389

1.引言389

2.变分法 费马光学原理390

3.贝努利对捷线问题的处理392

4.球面上的测地线与极大-极小394

11 极小问题的实验解法 肥皂膜实验395

1.引言395

2.肥皂膜实验396

3.普拉图问题的几种新实验397

4.其他数学问题的实验解法400

第8章 微积分405

引言405

1 积分407

1.面积看作是一个极限407

2.积分408

3.积分概念的一般说明 一般定义412

4.积分举例xr的积分413

5.“积分运算”的法则419

2 导数423

1.把导数看作是斜率423

2.导数看作是一极限424

3.例题427

4.三角函数的导数431

5.可微性和连续性432

6.导数和速度 二阶导数和加速度432

7.二阶导数的几何意义436

8.极大与极小437

3 微分法438

4 莱布尼茨的记号和“无穷小”445

5 微积分基本定理448

1.基本定理448

2.初步应用xr，cos x，sin x，arctan x的积分451

3.表示的莱布尼茨公式453

6 指数函数与对数函数455

1.对数的定义和性质 欧拉数e456

2.指数函数459

3.ex，ax，xs的微分公式461

4.用极限表示e，ex和ln x的表达式463

5.对数的无穷级数展开式 数值计算466

7 微分方程470

1.定义470

2.指数函数的微分方程 放射性元素的蜕变 增长率 复利471

3.其他例题 简谐振动474

4.牛顿动力学定律476

第8章 补充479

1 原理方面的内容479

1.可微性479

2.积分482

3.积分概念的另一些应用 功 弧长483

2 数量级486

1.指数函数和x的幂486

2.ln（n！）的数量级489

3 无穷级数和无穷乘积490

1.函数的无穷级数490

2.欧拉公式cos x+i sin x=eix496

3.调和级数和Zeta函数 正弦的欧拉乘积499

4 用统计方法得到素数定理503

第9章 最新进展508

1产生素数的公式508

2哥德巴赫猜想和孪生素数510

3费马大定理512

4连续统假设516

5集合论中的符号516

6四色定理517

7豪斯道夫维数和分形521

8纽结525

9力学中的一个问题528

10施泰纳问题530

11肥皂膜和最小曲面536

12非标准分析539

附录 补充说明 问题和习题545

算术和代数545

解析几何547

几何作图554

射影几何和非欧几何555

拓扑学556

函数、极限和连续性559

极大与极小560

微积分563

积分法565

参考书目1573

参考书目2（推荐阅读）578