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第一章 多元函数及其导数1

1．1 平面和空间的点和点集1

a．点的序列：收敛性1

b．平面上的点集4

c．集合的边界．闭集与开集6

d．闭包作为极限点的集合9

e．空间的点与点集10

练习1．111

问题1．112

1．2 几个自变量的函数12

a．函数及其定义域12

b．最简单的函数13

c．函数的几何表示法14

练习1．217

1．3 连续性18

a．定义18

b．多元函数的极限概念21

c．无穷小函数的阶24

练习1．326

问题1．328

1．4 函数的偏导数29

a．定义．几何表示29

练习1．4a33

问题1．4a34

b．例35

c．偏导数的连续性与存在性37

练习1．4c39

d．微分次序的改变39

练习1．4d42

问题1．4d43

1．5 函数的全微分及其几何意义43

a．可微性的概念43

练习1．5a46

问题1．5a47

b．方向导数47

练习1．5b50

c．可微性的几何解释．切平面51

练习1．5c53

d．函数的微分54

练习1．5d56

e．在误差计算方面的应用57

练习1．5e58

1．6 函数的函数(复合函数)与新自变量的引入58

a．复合函数．链式法则58

练习1．6a63

问题1．6a64

b．例65

c．自变量的替换66

练习1．6c70

1．7 多元函数的中值定理与泰勒定理71

a．关于用多项式作近似的预备知识71

问题1．6c71

练习1．7a73

b．中值定理73

练习1．7b75

问题1．7b75

c．多个自变量的泰勒定理76

练习1．7c77

问题1．7c78

1．8 依赖于参量的函数的积分79

a．例和定义79

b．积分关于参量的连续性和可微性81

c．积分(次序)的互换．函数的光滑化88

练习1．8b88

1．9 微分与线积分91

a．线性微分型91

b．线性微分型的线积分94

练习1．9b100

c．线积分对端点的相关性100

1．10 线性微分型的可积性的基本定理102

a．全微分的积分103

b．线积分只依赖于端点的必要条件105

c．可积条件的不足107

d．单连通集110

e．基本定理113

附录115

A．1 多维空间的聚点原理及其应用115

a．聚点原理116

b．柯西收敛准则．紧性117

c．海涅-波瑞耳覆盖定理118

d．海涅-波瑞耳定理在开集所包含的闭集上的应用119

A．2 连续函数的基本性质121

A．3 点集论的基本概念122

a．集合与子集合122

b．集合的并与交124

c．应用于平面上的点集127

A．4 齐次函数129

第二章 向量、矩阵与线性变换132

2．1 向量的运算132

a．向量的定义132

b．向量的几何表示134

c．向量的长度，方向夹角137

d．向量的数量积141

e．超平面方程的向量形式144

f．向量的线性相关与线性方程组146

练习2．1152

2．2 矩阵与线性变换154

a．基的变换，线性空间154

b．矩阵158

c．矩阵的运算163

d．方阵．逆阵．正交阵165

练习2．2171

2．3 行列式173

a．二阶与三阶行列式173

b．向量的线性型与多线性型176

c．多线性交替型．行列式的定义180

d．行列式的主要性质185

e．行列式对线性方程组的应用189

练习2．3191

2．4 行列式的几何解释195

a．向量积与三维空间中平行六面体的体积195

b．行列式关于一列的展开式．高维向量积203

c．高维空间中的平行四边形的面积与平行多面体的体积206

d．n维空间中平行多面体的定向211

e．平面与超平面的定向216

f．线性变换下平行多面体体积的改变217

练习2．4218

a．向量场220

2．5 分析中的向量概念220

b．数量场的梯度222

c．向量场的散度和旋度225

d．向量族．在空间曲线论和质点运动中的应用228

练习2．5231

第三章 微分学的发展和应用236

3．1 隐函数236

a．一般说明236

练习3．1a237

b．几何解释237

练习3．1b239

c．隐函数定理239

练习3．1c243

d．隐函数定理的证明244

练习3．1d247

e．多于两个自变量的隐函数定理247

练习3．1e249

3．2 用隐函数形式表出的曲线与曲面250

a．用隐函数形式表出的平面曲线250

练习3．2a255

b．曲线的奇点256

练习3．2b258

c．曲面的隐函数表示法259

练习3．2c261

a．一般说明263

3．3 函数组、变换与映射263

练习3．3a268

b．曲线坐标268

练习3．3b271

c．推广到多于两个变量的情形271

练习3．3c274

d．反函数的微商公式275

练习3．3d278

e．映射的符号乘积281

练习3．3e284

f．关于变换及隐函数组的逆的一般定理．分解成素映射285

练习3．3f291

g．用逐次逼近法迭代构造逆映射291

练习3．3g298

h．函数的相依性299

i．结束语301

练习3．3h301

练习3．3i303

3．4 应用304

a．曲面理论的要素304

练习3．4a314

b．一般保角变换315

练习3．4b317

3．5 曲线族，曲面族，以及它们的包络318

a．一般说明318

练习3．5a320

b．单参量曲线的包络320

c．例323

练习3．5b323

练习3．5c330

d．曲面族的包络332

练习3．5d334

3．6 交错微分型336

a．交错微分型的定义336

练习3．6a339

b．微分型的和与积339

练习3．6b341

c．微分型的外微商342

练习3．6c346

d．任意坐标系中的外微分型347

练习3．6d356

a．必要条件357

3．7 最大与最小357

b．例360

练习3．7b362

c．带有附加条件的最大与最小363

练习3．7c367

d．最简单情形下不定乘数法的证明368

练习3．7d370

e．不定乘数法的推广371

练习3．7e375

f．例375

练习3．7f379

A．1 极值的充分条件381

附录381

练习A．1387

A．2 临界点的个数与向量场的指数389

练习A．2397

A．3 平面曲线的奇点397

练习A．3400

A．4 曲面的奇点400

练习A．4401

A．5 流体运动的欧拉表示法与拉格朗日表示法之间的联系401

练习A．5403

A．6 闭曲线的切线表示法与周长不等式403

练习A．6405

解答406