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第1章 拓扑空间简介1

§1.1 集论初步1

§1.2 拓扑空间5

§1.3 紧致性［选读］11

习题13

第2章 流形和张量场15

§2.1 微分流形15

2.2.1 切矢量19

§2.2 切矢和切矢场19

2.2.2 流形上的矢量场27

§2.3 对偶矢量场31

§2.4 张量场35

§2.5 度规张量场39

§2.6 抽象指标记号46

习题52

第3章 黎曼（内禀）曲率张量55

§3.1 导数算符55

3.2.1 矢量场沿曲线的平移62

§3.2 矢量场沿曲线的导数和平移62

3.2.2 与度规相适配的导数算符64

3.2.3 矢量场沿曲线的导数与沿曲线的平移的关系65

§3.3 测地线68

§3.4 黎曼曲率张量76

3.4.1 黎曼曲率的定义和性质76

3.4.2 由度规计算黎曼曲率80

§3.5 内禀曲率和外曲率83

习题84

§4.1 流形间的映射86

第4章 李导数、Killing场和超曲面86

§4.2 李导数90

§4.3 Killing矢量场92

§4.4 超曲面97

习题103

第5章 微分形式及其积分105

§5.1 微分形式105

§5.2 流形上的积分109

§5.3 Stokes定理112

§5.4 体元115

§5.5 函数在流形上的积分，Gauss定理118

§5.6 对偶微分形式121

§5.7 用标架计算曲率张量［选读］124

习题130

第6章 狭义相对论132

§6.1 4维表述基础132

6.1.1 预备知识132

6.1.2 狭义相对论的背景时空134

6.1.3 惯性观者和惯性系135

6.1.4 固有时与坐标时137

6.1.5 时空图138

6.1.6 狭义相对论与非相对论时空结构的对比141

§6.2 典型效应分析144

6.2.1 “尺缩”效应144

6.2.2 “钟慢”效应145

6.2.3 孪子效应（孪子佯谬）149

§6.3 质点运动学和动力学151

6.2.4 车库佯谬151

§6.4 连续介质的能动张量164

§6.5 理想流体动力学168

§6.6 电动力学172

6.6.1 电磁场和4电流密度172

6.6.2 麦氏方程174

6.6.3 4维洛伦兹力176

6.6.4 电磁场的能动张量178

6.6.5 电磁4势及其运动方程，电磁波179

6.6.6 光波的多普勒效应184

习题185

第7章 广义相对论基础188

§7.1 引力与时空几何188

§7.2 弯曲时空中的物理定律192

§7.3 费米移动与无自转观者196

§7.4 任意观者的固有坐标系204

§7.5 等效原理与局部惯性系210

§7.6 潮汐力与测地偏离方程214

§7.7 爱因斯坦场方程222

7.8.1 线性近似［线性引力论（linearized theory of gravity）］225

§7.8 线性近似和牛顿极限225

7.8.2 牛顿极限228

§7.9 引力辐射231

习题245

第8章 爱因斯坦方程的求解247

§8.1 稳态时空和静态时空247

§8.2 球对称时空250

8.3.1 静态球对称度规253

§8.3 施瓦西真空解253

8.3.2 施瓦西真空解255

8.3.3 Birkhoff（伯克霍夫）定理260

§8.4 Reissner-Nordstrom（来斯纳－诺斯特朗）解261

8.4.1 电磁真空时空和爱因斯坦－麦克斯韦方程261

8.4.2 Reissner-Nordstrom解262

§8.5 轴对称度规简介［选读］265

§8.6 平面对称度规简介［选读］267

§8.7 Newman-Penrose形式（NP formalism）［选读］270

8.8.1 NP形式中的麦氏方程与爱因斯坦方程278

§8.8 用NP形式求解爱因斯坦－麦克斯韦方程举例［选读］278

8.8.2 柱对称条件下爱因斯坦－麦克斯韦方程求解一例280

§8.9 Vaidya度规和Kinnersley度规286

8.9.1 从施瓦西度规到Vaidya度规286

8.9.2 Kinnersley（金纳斯里）度规291

8.9.3 Kinnersley度规（详细讨论）294

§8.10 坐标条件，广义相对论的规范自由性302

8.10.1 坐标条件302

8.10.2 广义相对论的规范自由性306

习题308

第9章 施瓦西时空310

§9.1 施瓦西时空的测地线310

§9.2 广义相对论的经典实验验证314

9.2.1 引力红移314

9.2.2 水星近日点进动316

9.2.3 星光偏折318

§9.3 球对称恒星及其演化321

9.3.1 静态球对称恒星内部解321

9.3.2 恒星演化328

§9.4 Kruskal延拓和施瓦西黑洞335

9.4.1 时空奇点（奇性）的定义336

9.4.2 Rindler度规的坐标奇点338

9.4.3 施瓦西时空的Kruskal延拓341

9.4.4 施瓦西时空的无限红移面347

9.4.5 嵌入图［选读］348

9.4.6 球对称恒星的引力坍缩和施瓦西黑洞350

习题356

10.1.1 宇宙学原理358

§10.1 宇宙运动学358

第10章 宇宙论358

10.1.2 宇宙的空间几何360

10.1.3 Robertson-Walker（罗伯逊－沃克）度规366

§10.2 宇宙动力学371

10.2.1 哈勃定律371

10.2.2 宇宙学红移373

10.2.3 尺度因子的演化375

10.2.4 宇宙学常数和爱因斯坦静态宇宙380

10.3.1 宇宙演化简史381

§10.3 宇宙的热历史381

10.3.2 暗物质391

10.3.3 宇宙学常数问题395

§10.4 标准模型的疑难和克服400

10.4.1 粒子视界400

10.4.2 标准模型的疑难402

10.4.3 暴涨模型及其对视界、平直性疑难的解决407

§10.5 暗能量和“新标准宇宙模型”412

10.5.1 暗能量问题412

10.5.2 新标准宇宙模型415

10.5.3 宇宙的命运（未来）416

10.5.4 “黑暗物理学”的光明前途416

习题417

附录A 几何与非几何单位制的转换419

习题424

惯例与符号425

关于惯例的说明425

符号一览表425

参考文献429

索引432