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§1.1　引言1

第一章　预备知识1

§1.2　特征值和特征向量2

§1.3　矩阵分解4

1.3.1　若干基本分解4

1.3.2　SVD的推广6

§1.4　Hermite矩阵的特征值和矩阵的奇异值13

1.4.1　Hermite矩阵特征值的极小极大定理13

1.4.2　矩阵奇异值的极小极大定理15

1.5.1 Moore-Penrose逆16

§1.5　广义逆16

1.5.2　其他广义逆19

§1.6　投影20

1.6.1　幂等矩阵和投影21

1.6.2　正交投影23

1.6.3　投影AA？和A？A的几何意义24

§1.7　范数25

1.7.1　向量范数25

1.7.2　矩阵范数28

1.8.1　Binet-Cauchy公式34

§1.8　行列式，Hadamard不等式和Kronecker乘积34

1.8.2　Hadamard不等式36

1.8.3　Kronecker乘积37

§1.9　矩阵广义逆的进一步讨论39

1.9.1　矩阵乘积广义逆的反序律40

1.9.2　加边矩阵的广义逆43

1.9.3　矩阵加权广义逆的结构46

习题一53

2.1.1　von Neumann定理57

§2.1　酉不变范数的性质57

第二章　奇异值，奇异子空间和MP逆的扰动57

2.1.2　SG函数60

2.1.3　酉不变范数的性质62

§2.2　奇异值的扰动和降秩最佳逼近64

2.2.1　奇异值的扰动64

2.2.2　降秩最佳逼近65

§2.3　正交投影和奇异子空间的扰动68

§2.4　MP逆的扰动77

习题二80

§3.1　线性最小二乘问题84

第三章　线性最小二乘问题84

3.1.1　线性最小二乘及其等价性问题85

3.1.2　LS问题的正则化87

§3.2　LS问题的扰动89

§3.3　若干矩阵方程的LS解94

§3.4　加权最小二乘问题98

§3.5　WLS问题的误差估计101

3.5.1　第一种类型的误差界102

3.5.2　第二种类型的误差界104

习题三105

第四章　总体最小二乘问题107

§4.1　总体最小二乘问题及其解集107

4.1.1　总体最小二乘问题的定义107

4.1.2　TLS问题的解集114

§4.2　TLS和截断的LS问题的扰动116

4.2.1　TLS问题的扰动117

4.2.2　截断的LS问题的扰动123

§4.3　TLS和截断的LS问题的比较125

4.3.1　TLS和截断的LS问题的解的比较126

4.3.2　TLS和截断的LS问题残量的比较128

4.3.3　TLS和截断的LS问题极小F范数修正矩阵的比较130

4.3.4　一个实例133

§4.4　推广的降秩最佳逼近定理134

§4.5 LS-TLS问题141

§4.6　约束总体最小二乘问题146

习题四150

第五章　等式约束最小二乘问题153

§5.1　等式约束最小二乘问题153

5.1.1　等式约束最小二乘问题的定义与解集153

5.1.2　等式约束最小二乘问题的等价性问题155

5.2.1 WLS问题的KKT方程161

§5.2 关于KKT方程161

5.2.2　LSE和WLS问题的KKT方程解的比较163

5.2.3　对应于B和B（？）零特征值的特征子空间165

§5.3　LSE问题的误差估计165

§5.4　等式约束加权最小二乘问题175

5.4.1　等式约束加权最小二乘问题的定义与解集175

5.4.2　加权最小二乘问题的等价性问题176

§5.5　WLSE问题的扰动178

§5.6　多重约束MP逆和多重约束最小二乘问题182

§5.7　嵌入总体最小二乘问题186

习题五193

第六章　加权MP逆和约束加权MP逆的上确界195

§6.1　基本问题195

§6.2　加权MP逆的上确界198

§6.3　约束加权MP逆的上确界203

§6.4　双侧加权MP逆的上确界210

习题六213

第七章　WLS问题和WLSE问题的稳定性扰动215

§7.1 加权MP逆和约束加权MP逆的稳定性215

7.1.1　加权MP逆的稳定性215

7.1.2　约束加权MP逆的稳定性218

7.1.3　双侧加权MP逆的稳定性222

§7.2　加权投影矩阵的扰动上界224

§7.3　加权最小二乘问题的稳定性扰动232

§7.4　约束加权最小二乘问题的稳定性扰动235

习题七240

第八章　刚性加权最小二乘问题242

§8.1　预备知识242

§8.2　刚性加权最小二乘和多重约束最小二乘问题245

§8.3　刚性加权投影矩阵和刚性加权MP逆的扰动248

§8.4　刚性加权最小二乘问题的扰动256

习题八257

第九章　广义最小二乘问题的直接解法258

§9.1　基本知识258

9.1.1　算法和浮点运算258

9.1.2　正定矩阵线性方程组的数值计算259

9.1.3　矩阵的预条件处理261

§9.2　正交分解的数值计算262

9.2.1　QR分解262

9.2.2　完全正交分解272

9.2.3　奇异值分解274

§9.3　最小二乘问题的直接解法276

9.3.1　QR分解方法276

9.3.2　法方程法277

9.3.3　完全正交分解方法277

9.3.4　SVD方法278

§9.4　总体最小二乘问题的直接解法278

9.4.1　基本SVD方法278

9.4.2　完全正交方法279

9.4.3　Cholesky分解法279

9.5.1　零空间法280

§9.5　约束最小二乘问题的数值解法280

9.5.2　加权LS法281

9.5.3　直接消去法281

9.5.4　QR分解和Q-SVD方法284

§9.6　刚性WLS问题和刚性WLSL问题的直接解法285

9.6.1　行稳定的QR分解285

9.6.2　刚性WLS问题的稳定解法287

9.6.3　刚性WLSE问题的稳定解法290

习题九290

10.1.1　Chebyshev多项式292

第十章　广义最小二乘问题的迭代解法292

§10.1　基本知识292

10.1.2　分裂迭代法的基本理论295

10.1.3　实对称三对角矩阵的特征值的范围299

§10.2　最小二乘解的迭代算法301

10.2.1　分裂迭代法301

10.2.2　Krylov子空间法306

10.2.3　预条件对称－反对称分裂迭代法314

§10.3　总体最小二乘问题的迭代解法318

10.3.1　部分SVD方法318

10.3.2　双对角化方法319

§10.4　刚性加权最小二乘问题的迭代解法321

习题十323

第十一章　非线性最小二乘问题的迭代解法325

§11.1　基本知识325

11.1.1　Gateaux导数和Frechet导数325

11.1.2　基本算法327

§11.2 Gauss-Newton型方法327

11.2.1 Gauss-Newton方法328

11.2.2　阻尼Gauss-Newton方法328

11.2.3　信赖域方法330

§11.3　Newton型方法331

11.3.1　Newton迭代法331

11.3.2　混合Newton迭代法331

11.3.3　拟Newton迭代法332

§11.4　可分离问题和约束问题333

11.4.1　可分离问题333

11.4.2　约束非线性最小二乘问题334

习题十一336

参考文献338

《大学数学科学丛书》已出版书目351