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上篇 实变函数论2

第一章 集合论初步，RN的点集2

1.1 集合、关系与映射2

1.1.1 集的概念2

1.1.2 集的并与交运算4

1.1.3 集合的乘积，关系与映射7

1.1.4 次序，Zorn(曹恩)引理和选择公理11

1.2 集合的基数15

1.2.1 集合的基数的概念16

1.2.2 Bernstein定理17

1.3 可数集与不可数集20

1.3.1 可数集20

1.3.2 不可数集23

1.4 N维欧氏空间的基本概念28

1.4.1 RN上的距离28

1.4.2 内点与内部，开集与闭集29

1.4.3 聚点、闭包与导集30

1.4.4 子空间32

1.5 R1上开集的构造35

1.5.1 开集构造定理35

1.5.2 Cantor(康托)完全集36

1.6 数值、数列与函数40

1.6.1 数值的运算规则40

1.6.2 数值列的极限40

1.6.3 格运算(取大算子“∨”和取小算子“∧”)42

1.6.4 上、下极限43

1.6.5 函数的连续性与单调性44

插页1：数学创新-数学思想方法-数学教育48

第二章 区间与矩形上的L-积分49

2.1 特征函数与阶梯函数49

2.1.1 特征函数49

2.1.2 阶梯函数51

2.1.3 阶梯函数的积分55

2.2 零集、阶梯函数单调列的基本引理58

2.2.1 零集59

2.2.2 阶梯函数的单调列的两个基本引理62

2.3 L-可积的基本函数及其L-积分65

2.3.1 BL类函数及其积分67

2.3.2 BL类函数的运算70

2.4 可测函数与可积函数的积分74

2.4.1 L类函数74

2.4.2 L-积分的一般性质75

2.4.3 L-积分的三大极限定理79

2.4.4 一般可测函数与L-可积函数87

2.5 L-积分与R-积分比较92

2.5.1 可积函数类比较92

2.5.2 逐项积分的条件比较95

2.5.3 微积分基本公式比较96

2.5.4 进一步的比较96

2.6.1 二元阶梯函数98

2.6 二维积分与Fubini定理98

2.6.2 零集99

2.6.3 有界矩形Ω上的L-类函数及其积分100

2.6.4 截口及其性质102

2.6.5 Fubini定理106

插页2：谈用化归法解题112

3.1 ［a，b］上的L-可测集与L-测度113

3.1.1 L-可测集及其L-测度113

第三章 测度与可测集上的积分113

3.1.2 可测函数与可测集的关系117

3.1.3 可测集的结构119

3.2 一般可测集上的Lebesgue积分125

3.2.1 (-∞，+∞)上的可积函数及其积分125

3.2.2 (-∞，+∞)上的一般可测集及其测度130

3.2.3 一般可测集上的可测函数与可积函数132

3.3 可积函数与可测函数的连续逼近138

3.3.1 可积函数的连续逼近与积分的绝对连续性138

3.3.2 可测函数的连续逼近——Egoroff定理与Lusin定理141

3.4 依测度收敛149

3.4.1 依测度收敛与几乎处处收敛的关系150

3.4.2 依测度收敛的性质152

3.5 L-积分理论的两种版本之比较156

3.5.1 两种版本推演程序的差异156

3.5.2 两种版本概念的一致性157

3.5.3 两种版本各有优势159

3.6 不可测集的例子、一般的测度与积分163

3.6.1 Lebesgue不可测集的存在性163

3.6.2 测度与积分的一般理论简介165

插页3：谈数学的作用和它的应用176

第四章 微分与不定积分177

4.1 单调函数与有界变差函数177

4.1.1 单调函数177

4.1.2 有界变差函数179

4.2.1 不定积分185

4.2 不定积分与绝对连续函数185

4.2.2 绝对连续函数188

4.3 关于单调函数性质的补充与附注195

4.3.1 单调函数导数存在性的证明195

4.3.2 导数a.e.为0的单调连续函数200

4.3.3 关于一般单调函数200

插页4：谈数学美和它的作用205

5.1 距离空间的基本概念及例子207

第五章 距离空间207

下篇 泛函分析初步207

5.2 距离空间中的收敛与连续映射209

5.3 距离空间的可分性210

5.4 完备距离空间与距离空间的完备化211

5.5 不动点定理213

5.6 距离空间的紧致性215

第六章 线性赋范空间与有界线性算子218

6.1 线性赋范空间的基本概念及例子218

6.2 有界线性算子223

6.3 线性算子空间与共轭空间225

6.3.1 线性有界算子空间225

6.3.2 共轭空间225

第七章 线性赋范空间的基本定理228

7.1 泛函延拓定理228

7.2 线性算子的基本定理231

7.2.1 逆算子定理231

7.2.2 闭图像定理232

7.2.3 共呜定理(一致有界性定理)233

7.3 自反空间与共轭算子235

7.3.1 二次共轭空间与自反空间235

7.3.2 共轭算子235

7.4 强收敛、弱收敛与弱收敛237

7.4.1 算子列的一致收敛、强收敛、弱收敛237

7.4.2 泛函列的弱收敛238

7.4.3 X中点列的弱收敛238

8.1 内积空间的概念241

第八章 内积空间与Hilbert空间241

8.2 内积空间的正交性质244

8.2.1 正交与正交分解定理244

8.2.2 标准正交系与完全标准正交系245

8.2.3 Fourier级数展开246

8.3 Hilbert空间的同构性249

8.3.1 Hilbert空间的同构性249

8.3.2 Riesz表示定理与共轭同构249

8.4 Hilbert空间上的有界算子251

8.4.1 Hilbert共轭算子251

8.4.2 自共轭算子251

参考文献253

附录1 集合论在争论中建立和发展255

附录2 Lebesgue积分的产生与发展260

附录3 泛函分析的产生与发展263

附录4 数学家简介266

附录5 本书上篇采用的记号与约定277