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第十一章 多元函数微分法及其应用1

11.1　多元函数的概念1

一、邻域和区域的概念1

二、多元函数的概念4

三、二元函数的图形7

11.2　二元函数的极限与连续8

一、二元函数的极限8

二、二元函数的连续性11

11.3　偏导数14

一、偏导数的概念14

二、偏导数的求法17

三、二元函数偏导数的几何意义19

四、高阶偏导数20

11.4　全微分22

一、全微分的概念22

二、全微分在近似计算和误差估计中的应用29

11.5　多元复合函数的导数32

一、多元复合函数的求导法则32

二、多元复合函数的高阶偏导数39

11.6　隐函数的求导公式43

一、由方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f（x）的求导公式43

二、由方程F(x,y,z)=0所确定的隐函数z=f（x,y）的求导公式44

三、由方程组所确定的隐函数的导数46

11.7　方向导数与梯度48

一、方向导数48

二、梯度51

11.8微分法在几何上的应用53

一、空间曲线的切线与法平面及其方程53

二、空间曲面的切平面与法线及其方程56

11.9　多元函数的极值61

一、多元函数的极值与最值61

二、条件极值拉格朗日乘数法68

学习指导73

第十二章　重积分84

12.1　二重积分的概念与性质84

一、二重积分的概念84

二、二重积分的性质88

12.2　二重积分在直角坐标系中的计算法92

12.3　二重积分在极坐标系中的计算法102

12.4　二重积分的应用110

一、曲面的面积111

二、平面薄片的重心115

三、平面薄片的转动惯量119

12.5 三重积分的概念及其在直角坐标系中的计算法121

一、三重积分的概念121

二、三重积分在直角坐标系中的计算法123

12.6　利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分130

一、利用柱面坐标计算三重积分130

二、利用球面坐标计算三重积分134

12.7　三重积分的应用举例138

学习指导145

第十三章 曲线积分与曲面积分161

13.1　对弧长的曲线积分161

一、对弧长的曲线积分的概念与性质161

二、对弧长的曲线积分的计算法164

13.2　对坐标的曲线积分170

一、对坐标的曲线积分的概念与性质170

二、对坐标的曲线积分的计算法175

三、两类曲线积分之间的关系184

13.3　格林公式185

13.4　平面上曲线积分与路径无关的问题193

一、平面上曲线积分与路径无关的条件193

二、二元函数的全微分求积198

13.5　对面积的曲面积分206

一、对面积的曲面积分的概念与性质207

二、对面积的曲面积分的计算法209

13.6　对坐标的曲面积分216

一、对坐标的曲面积分的概念与性质216

二、对坐标的曲面积分的计算法220

三、两类曲面积分之间的关系227

13.7　高斯公式228

学习指导233

第十四章 常数项级数与幂级数247

14.1　常数项级数的概念和性质247

一、常数项级数及其收敛与发散的概念247

二、级数收敛的必要条件251

三、级数的基本性质252

14.2　正项级数的审敛法255

一、正项级数及其收敛的充要条件256

二、比较审敛法及其极限形式257

三、比值审敛法［达朗贝尔（D'Alembert）判别法］260

四、根值审敛法［柯西（Cauchy）判别法］263

14.3　任意项级数的审敛法265

一、交错级数及其审敛法265

二、任意项级数的收敛性——绝对收敛与条件收敛268

14.4 函数项级数的概念与幂级数270

一、函数项级数的概念271

二、幂级数及其收敛性272

三、幂级数的运算277

14.5　把函数展开成幂级数281

一、泰勒级数281

二、把函数展开成幂级数283

14.6 函数的幂级数展开式的应用291

一、近似计算291

二、欧拉公式296

学习指导298

第十五章　傅立叶级数320

15.1 周期为2π的函数的傅立叶级数320

一、三角级数及三角函数系的正交性320

二、周期为2π的函数的傅立叶级数及其收敛性322

三、把周期为2π的函数展开为傅立叶级数324

四、把定义在［－π，π］上的函数展开为傅立叶级数328

15.2　正弦级数和余弦级数333

一、正弦级数和余弦级数333

二、把定义在［0，π］上的函数展开为正弦（或余弦）级数338

15.3　周期为2l的周期函数的傅立叶级数340

学习指导346

第十六章　微分方程360

16.1　微分方程的基本概念360

一、引例360

二、微分方程的基本概念362

16.2　变量可分离的微分方程及齐次方程364

一、变量可分离的微分方程365

二、齐次方程368

16.3　一阶线性微分方程与贝努利方程374

一、一阶线性微分方程374

二、贝努利方程380

16.4　全微分方程382

16.5　一阶微分方程的应用举例386

16.6　可降阶的高阶微分方程396

一、y(n)=f（x）型的微分方程396

二、y″＝f（x,y′）型的微分方程397

三、y″＝f（y,y′）型的微分方程399

16.7　二阶线性微分方程解的性质与通解结构402

一、二阶线性齐次微分方程解的性质与通解结构402

二、二阶线性非齐次微分方程解的性质与通解结构405

16.8　二阶常系数线性齐次微分方程407

16.9　二阶常系数线性非齐次微分方程414

一、f(x)=Pm(x)eλx型414

二、f(x)=eλx（Acosωx+Bsinωx）型419

16.10　高阶微分方程的应用举例423

学习指导435