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第1章 随机事件及其概率1

1.1 随机试验、随机事件及样本空间1

1.1.1 随机现象与统计规律性1

1.1.2 随机试验2

1.1.3 样本空间与随机事件2

1.1.4 事件间的关系及运算3

1.2 概率的定义及性质6

1.2.1 概率的统计定义7

1.2.2 概率的古典定义8

1.2.3 概率的几何定义13

1.2.4 概率的公理化定义17

1.3 条件概率22

1.3.1 条件概率的定义及性质22

1.3.2 概率乘法公式24

1.3.3 全概率公式与贝叶斯公式26

1.4 独立性29

1.4.1 两事件的独立性29

1.4.2 多个事件的独立性30

1.4.3 独立性概念在概率计算中的应用31

1.4.4 n重伯努利试验33

1.5 历史注记：概率论的起源与发展概览34

1.5.1 概率论前史（远古—1653）34

1.5.2 概率论的创立及早期发展（1654—1811）35

1.5.3 分析概率论的建立与发展（1812—1916）37

1.5.4 公理化体系的构建及现代概率论的发展（1917年至今）38

习题139

第2章 随机变量及其分布43

2.1 随机变量及其分布函数43

2.1.1 随机变量的概念43

2.1.2 随机变量的分布函数44

2.2 离散型随机变量及其分布律47

2.2.1 离散型随机变量及其分布律47

2.2.2 三种重要的离散型分布49

2.2.3 二项分布的泊松近似51

2.3 连续型随机变量及其概率密度53

2.3.1 连续型随机变量及其概率密度53

2.3.2 三种重要的连续型分布56

2.4 随机变量函数的分布62

2.4.1 问题的提出62

2.4.2 离散型随机变量函数的分布62

2.4.3 连续型随机变量函数的分布63

2.5 历史注记：二项分布大事记65

2.5.1 雅各布·伯努利与二项分布公式65

2.5.2 棣莫弗与二项概率的正态逼近66

2.5.3 泊松逼近与泊松分布69

习题270

第3章 多维随机变量及其分布74

3.1 多维随机变量及其分布74

3.1.1 多维随机变量及其分布函数74

3.1.2 二维离散型随机变量及其分布律76

3.1.3 二维连续型随机变量及其概率密度78

3.2 边缘分布81

3.2.1 边缘分布函数81

3.2.2 边缘分布律82

3.2.3 边缘概率密度84

3.3 条件分布86

3.3.1 条件分布函数86

3.3.2 离散型随机变量的条件分布88

3.3.3 连续型随机变量的条件分布89

3.4 随机变量的独立性92

3.4.1 两个随机变量的独立性92

3.4.2 多个随机变量的独立性95

3.4.3 多维随机变量的独立性95

3.5 两个随机变量的函数的分布96

3.5.1 两个离散型随机变量的函数的分布96

3.5.2 两个连续型随机变量的函数的分布97

3.5.3 二维随机变量变换的分布定理104

3.6 历史注记：蒙蒂·霍尔问题及其他106

3.6.1 蒙蒂·霍尔问题106

3.6.2 监狱看守悖论107

3.6.3 辛普森悖论108

3.6.4 启示108

习题3109

第4章 随机变量的数字特征113

4.1 数学期望113

4.1.1 离散型随机变量的数学期望113

4.1.2 连续型随机变量的数学期望118

4.1.3 随机变量函数的数学期望119

4.1.4 数学期望的性质122

4.2 方差124

4.2.1 方差的定义及性质124

4.2.2 切比雪夫不等式129

4.3 协方差及相关系数130

4.3.1 问题的提出130

4.3.2 协方差及相关系数的定义131

4.3.3 协方差的性质与计算131

4.3.4 相关系数的性质及意义133

4.4 矩、协方差矩阵136

4.4.1 矩136

4.4.2 协方差矩阵137

4.5 历史注记：从“分赌本问题”到数字特征139

4.5.1 早期分赌本问题139

4.5.2 德·梅雷的问题及帕斯卡与费马的解答140

4.5.3 “分赌本问题”与数学期望142

4.5.4 其他数字特征的引入143

习题4143

第5章 大数定律与中心极限定理148

5.1 大数定律148

5.1.1 大数定律的概念148

5.1.2 切比雪夫大数定律148

5.1.3 伯努利大数定律150

5.1.4 马尔可夫大数定律和辛钦大数定律151

5.2 中心极限定理153

5.2.1 中心极限定理的背景及研究思路153

5.2.2 几个基本的中心极限定理154

5.3 历史注记：彼得堡数学学派与极限定理研究的突破158

5.3.1 切比雪夫与彼得堡学派的形成159

5.3.2 切比雪夫关于极限定理的研究159

5.3.3 李雅普诺夫关于极限定理的研究160

习题5161

第6章 随机过程的基本概念163

6.1 随机过程的定义与分类163

6.1.1 随机过程概念的引入163

6.1.2 随机过程的定义164

6.1.3 随机过程的分类167

6.2 随机过程的概率分布与数字特征167

6.2.1 一维随机过程的概率分布167

6.2.2 随机过程的数字特征170

6.2.3 二维随机过程的概率分布及数字特征172

6.2.4 随机序列的数字特征174

6.2.5 复随机过程及其数字特征174

6.3 几类重要的随机过程176

6.3.1 平稳过程176

6.3.2 正态过程178

6.3.3 正交增量过程180

6.3.4 马尔可夫过程181

6.3.5 独立增量过程181

6.4 历史注记：玻尔兹曼与随机过程的滥觞182

6.4.1 引子182

6.4.2 玻尔兹曼与不可逆过程182

6.4.3 玻尔兹曼与“遍历性”183

习题6184

第7章 维纳过程与泊松过程186

7.1 独立增量过程的进一步讨论186

7.1.1 独立增量过程的定义及例子186

7.1.2 独立增量过程的基本性质187

7.2 维纳过程188

7.2.1 布朗运动与维纳过程的概念188

7.2.2 维纳过程的基本性质189

7.3 泊松过程192

7.3.1 泊松过程的概念192

7.3.2 泊松过程的基本性质196

7.3.3 非齐次泊松过程与复合泊松过程简介199

7.4 历史注记：爱因斯坦与布朗运动的数学理论201

7.4.1 爱因斯坦以前的布朗运动202

7.4.2 爱因斯坦对布朗运动的研究202

7.4.3 爱因斯坦与布朗运动数学理论的建立203

习题7204

第8章 马尔可夫链206

8.1 马尔可夫链的概念206

8.1.1 马尔可夫过程的概念206

8.1.2 马尔可夫链的定义208

8.2 马尔可夫链的概率分布208

8.2.1 马尔可夫链的转移概率208

8.2.2 马尔可夫链的有限维分布215

8.3 马尔可夫链的遍历性与平稳分布217

8.3.1 马尔可夫链的遍历性与平稳分布的概念217

8.3.2 马尔可夫链的遍历性条件与平稳分布的确定219

8.4 历史注记：马尔可夫与马尔可夫过程221

8.4.1 马尔可夫生平简介221

8.4.2 从极限定理到马尔可夫链222

8.4.3 后续研究及发展223

习题8223

第9章 平稳过程227

9.1 平稳过程的概念及基本性质227

9.1.1 平稳过程的定义227

9.1.2 相关函数的性质230

9.1.3 复平稳过程230

9.2 联合平稳过程232

9.3 随机分析的若干基本知识234

9.3.1 均方收敛234

9.3.2 均方连续237

9.3.3 均方导数238

9.3.4 均方积分241

9.4 平稳过程的遍历性244

9.4.1 问题及引例244

9.4.2 平稳过程具有遍历性的定义245

9.4.3 平稳过程具有遍历性的条件246

9.5 历史注记：伊藤清与随机分析的建立250

9.5.1 华尔街最有名的日本人250

9.5.2 用逻辑法则构建美丽的随机理论250

9.5.3 随机王国中的牛顿定律251

习题9252

第10章 平稳过程的谱分析255

10.1 随机过程的功率谱密度的概念255

10.1.1 预备知识——普通时间函数的频谱分析255

10.1.2 随机过程的功率谱密度257

10.2 平稳过程的功率谱密度259

10.2.1 维纳-辛钦公式259

10.2.2 白噪声过程及其功率谱密度263

10.2.3 复平稳过程的功率谱密度266

10.2.4 平稳序列的功率谱密度266

10.3 联合平稳过程的互谱密度267

10.3.1 互谱密度的概念267

10.3.2 互谱密度的性质267

10.4 平稳过程通过线性系统的分析270

10.4.1 线性时不变系统的基本概念270

10.4.2 线性时不变系统对输入的响应271

10.4.3 线性时不变系统对平稳过程统计特征的响应272

10.5 历史注记：辛钦与莫斯科概率论学派278

10.5.1 莫斯科数学学派278

10.5.2 辛钦：从函数论到平稳过程279

习题10280

附录A284

习题答案291

参考文献304