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数学物理方法 第2版
  • 上海交通大学数学系组编 著
  • 出版社: 上海:上海交通大学出版社
  • ISBN:7313156372
  • 出版时间:2016
  • 标注页数:349页
  • 文件大小:30MB
  • 文件页数:363页
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图书目录

第1篇 复变函数1

第1章 复数和复变函数1

1.1 复数及其表示1

1.1.1 复数的定义1

1.1.2 复数的表示1

1.2 复数的运算及其几何意义4

1.2.1 复数的四则运算4

1.2.2 复数的乘方和方根6

1.2.3 共轭复数及其性质9

1.2.4 曲线的复数方程10

1.3 平面点集和区域11

1.3.1 复平面上的点集11

1.3.2 区域与简单曲线12

1.4 复变函数14

1.4.1 复变函数的概念14

1.4.2 曲线在映射下的像16

1.5 复球面与无穷远点18

1.5.1 复球面18

1.5.2 扩充复平面上的几个概念19

习题119

第2章 解析函数23

2.1 复变函数的极限和连续23

2.1.1 复变函数的极限23

2.1.2 复变函数的连续性25

2.2 解析函数的概念26

2.2.1 复变函数的导数和微分26

2.2.2 解析函数的概念30

2.3 函数解析的充要条件31

2.3.1 柯西-黎曼条件31

2.3.2 可导的充要条件33

2.4 调和函数37

2.4.1 调和函数37

2.4.2 解析函数与调和函数的关系38

2.4.3 正交曲线族42

2.5 初等解析函数43

2.5.1 指数函数43

2.5.2 对数函数45

2.5.3 幂函数47

2.5.4 三角函数与双曲函数49

2.5.5 反三角函数与反双曲函数52

习题253

第3章 复变函数的积分57

3.1 复变函数的积分57

3.1.1 复变函数积分的概念57

3.1.2 复变函数积分的计算58

3.1.3 积分的基本性质62

3.2 柯西定理64

3.2.1 单连通区域的柯西定理65

3.2.2 原函数与不定积分66

3.2.3 柯西定理的推广68

3.3 柯西积分公式和高阶导数公式70

3.3.1 柯西积分公式71

3.3.2 解析函数的高阶导数公式74

3.4 柯西积分公式的推论77

3.4.1 莫累拉(Morera)定理77

3.4.2 平均值公式78

3.4.3 柯西不等式79

3.4.4 刘维尔(Liouville)定理79

3.4.5 最大模定理80

习题380

第4章 解析函数的级数展开84

4.1 复级数的概念84

4.1.1 复数列的极限84

4.1.2 复数项级数85

4.1.3 复函数项级数88

4.2 幂级数89

4.2.1 幂级数的概念89

4.2.2 收敛圆与收敛半径90

4.2.3 幂级数的运算和性质93

4.3 解析函数的泰勒级数展开95

4.3.1 解析函数的泰勒展开式95

4.3.2 初等函数的泰勒展开式98

4.4 解析函数的罗朗级数展开100

4.4.1 罗朗级数的概念100

4.4.2 函数的罗朗展开式102

4.5 解析函数的孤立奇点与分类107

4.5.1 孤立奇点107

4.5.2 可去奇点109

4.5.3 极点110

4.5.4 本性奇点113

4.5.5 函数在无穷远点的性态114

习题4116

第5章 留数及其应用120

5.1 留数及其计算120

5.1.1 留数的概念120

5.1.2 留数的计算124

5.1.3 留数定理128

5.2 留数在某些定积分计算中的应用133

5.2.1 形如∫2π0R(cosθ, sinθ)dθ的积分133

5.2.2 形如∫+∞P(x)/-∞Q(x)dx的积分136

5.2.3 形如∫+∞-∞f(x)eiλx dx的积分138

5.2.4 实轴上有奇点的积分141

习题5143

第6章 保形映射146

6.1 保形映射的概念146

6.1.1 导数的几何意义146

6.1.2 保形映射的概念149

6.1.3 关于保形映射的几个一般性定理150

6.2 分式线性映射151

6.2.1 平移映射和相似映射151

6.2.2 反演映射152

6.2.3 分式线性映射及其性质153

6.3 几个典型的分式线性映射158

6.3.1 把上半平面映射成上半平面的分式线性映射158

6.3.2 把上半平面映射成单位内部的分式线性映射159

6.3.3 把单位圆内部映射成单位圆内部的分式线性映射161

6.4 几个初等函数所构成的映射162

6.4.1 幂函数与根式函数162

6.4.2 指数函数与对数函数166

6.4.3 儒可夫斯基函数169

习题6170

第2篇 积分变换173

第7章 傅里叶变换173

7.1 傅里叶积分公式173

7.1.1 傅里叶级数173

7.1.2 傅里叶积分公式176

7.2 傅里叶变换180

7.2.1 傅里叶变换的定义180

7.2.2 余弦与正弦傅里叶变换183

7.3 广义傅里叶变换185

7.3.1 δ函数185

7.3.2 基本函数的广义傅里叶变换188

7.4 傅里叶变换与逆变换的性质190

7.4.1 傅里叶变换的基本性质190

7.4.2 傅里叶变换的卷积与卷积定理197

7.4.3 傅里叶变换的应用200

习题7203

第8章 拉普拉斯变换206

8.1 拉普拉斯变换的概念206

8.1.1 拉普拉斯变换的存在性206

8.1.2 常用函数的拉普拉斯变换209

8.1.3 拉普拉斯变换的积分下限213

8.2 拉普拉斯变换的性质214

8.2.1 拉普拉斯变换基本性质214

8.2.2 拉普拉斯变换的卷积性质223

8.3 拉普拉斯逆变换225

8.3.1 复反演积分公式225

8.3.2 利用留数定理求拉普拉斯逆变换226

8.4 拉普拉斯变换的应用228

8.4.1 利用拉普拉斯变换求线性微分(积分)方程228

8.4.2 用拉普拉斯变换求广义积分233

习题8236

第3篇 数学物理方程241

第9章 数学物理方程的导出及定解问题241

9.1 数学物理方程的导出241

9.1.1 弦振动方程241

9.1.2 膜振动方程243

9.1.3 热传导方程244

9.1.4 静电场方程246

9.2 定解条件及定解问题247

9.2.1 初始条件248

9.2.2 边界条件248

9.2.3 定解问题及其适定性250

9.3 线性问题的叠加原理与齐次化原理252

9.3.1 线性偏微分方程的叠加原理252

9.3.2 齐次化原理254

习题9255

第10章 求解数学物理方程的分离变量法258

10.1 一维波动方程258

10.1.1 第一类齐次边界条件258

10.1.2 第二类齐次边界条件262

10.1.3 解的物理意义266

10.2 一维热传导方程267

10.2.1 第一类齐次边界条件267

10.2.2 第三类齐次边界条件271

10.3 二维拉普拉斯方程275

10.3.1 矩形域275

10.3.2 圆域278

10.4 非齐次方程的解法282

10.4.1 固有函数法282

10.4.2 特解法285

10.5 非齐次边界条件的处理289

习题10292

第11章 行波法与积分变换法296

11.1 行波法296

11.1.1 无界弦的自由振动 达朗贝尔公式296

11.1.2 解的物理意义298

11.1.3 特征线及二阶线性偏微分方程的分类300

11.1.4 非齐次方程求解302

11.1.5 半无界弦的自由振动304

11.2 积分变换法307

11.2.1 傅里叶积分变换308

11.2.2 拉普拉斯积分变换313

习题11316

习题答案320

习题1320

习题2321

习题3323

习题4324

习题5327

习题6328

习题7330

习题8331

习题9333

习题10334

习题11336

附录338

附录1傅氏变换简表338

附录2拉氏变换简表345

参考文献349

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