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第7章 无穷级数1

7.1 数项级数1

7.1.1 无穷级数及其收敛性1

7.1.2 收敛级数的性质3

7.1.3 正项级数4

7.1.4 交错级数10

7.1.5 绝对收敛与条件收敛11

7.1.6 一般项级数14

习题7.116

7.2 幂级数和Taylor展式18

7.2.1 函数列和函数项级数的收敛性18

7.2.2 幂级数的收敛半径19

7.2.3 幂级数的性质22

7.2.4 函数的Taylor展开式26

7.2.5 某些初等函数的Taylor展开式28

习题7.232

7.3 函数列和函数项级数33

7.3.1 函数列和函数项级数的一致收敛性34

7.3.2 一致收敛的函数列和一致收敛级数的性质37

习题7.339

7.4 级数应用举例41

7.4.1 微分方程的幂级数解41

7.4.2 Stirling公式44

习题7.447

第8章 多元函数的微分学48

8.1 平面点集及R2的完备性48

8.1.1 平面点集的一些基本概念48

8.1.2 开集与闭集50

8.1.3 连通集50

8.1.4 R2的完备性51

习题8.152

8.2 映射及其连续性53

8.2.1 映射、多元函数、向量值函数的概念53

8.2.2 多元函数的极限54

8.2.3 多元函数的连续性55

8.2.4 向量值函数的极限和连续性56

习题8.257

8.3 多元函数的全微分和偏导数58

8.3.1 多元函数的全微分58

8.3.2 多元函数的偏导数59

8.3.3 高阶偏导数62

习题8.364

8.4 复合函数的微分法65

8.4.1 复合函数求导的链式法则65

8.4.2 Jacobi矩阵69

8.4.3 方向导数、梯度70

8.4.4 一阶全微分的形式不变性72

习题8.473

8.5 隐函数的微分法75

8.5.1 多元方程所确定的隐函数的存在定理75

8.5.2 由方程组所确定的隐函数组78

习题8.581

8.6 向量值函数的微分法及几何应用83

8.6.1 向量值函数的微分法83

8.6.2 空间曲线的切线与法平面84

8.6.3 空间曲面的切平面与法线87

习题8.691

8.7 多元函数的Taylor公式与极值92

8.7.1 二元函数的Taylor公式92

8.7.2 多元函数的极值94

8.7.3 条件极值96

习题8.7104

第9章 重积分106

9.1 二重积分106

9.1.1 二重积分的概念106

9.1.2 平面图形的面积107

9.1.3 可积函数类与二重积分的性质107

9.1.4 二重积分的累次积分法109

习题9.1115

9.2 二重积分的变量代换117

9.2.1 曲线坐标和面积元素117

9.2.2 二重积分的变量代换118

9.2.3 例题120

9.2.4 广义二重积分124

习题9.2126

9.3 三重积分127

9.3.1 三重积分的概念127

9.3.2 三重积分的累次积分法128

9.3.3 三重积分的变量代换133

习题9.3136

9.4 重积分应用举例138

9.4.1 重心与转动惯量138

9.4.2 物体的引力141

习题9.4143

第10章 曲线积分和曲面积分145

10.1 第一型曲线积分145

10.1.1 空间曲线的弧长145

10.1.2 第一型曲线积分148

习题10.1151

10.2 第一型曲面积分152

10.2.1 曲面的面积152

10.2.2 第一型曲面积分155

习题10.2158

10.3 第二型曲线积分159

10.3.1 定向曲线159

10.3.2 第二型曲线积分的定义159

10.3.3 第二型曲线积分的计算与性质160

10.3.4 Green定理163

习题10.3165

10.4 第二型曲面积分167

10.4.1 双侧曲面及其定向167

10.4.2 第二型曲面积分的定义168

10.4.3 第二型曲面积分的计算169

10.4.4 第二型曲面积分的性质170

10.4.5 有向面积元素170

10.4.6 例题171

习题10.4174

10.5 Gauss定理和Stokes定理175

10.5.1 向量场的散度175

10.5.2 Gauss定理176

10.5.3 Stokes定理179

10.5.4 旋度181

习题10.5183

10.6 保守场186

10.6.1 恰当微分形式和有势场186

10.6.2 全微分的积分186

10.6.3 保守场187

10.6.4 无旋场188

10.6.5 全微分方程190

习题10.6192

10.7 Hamilton算符194

习题10.7197

第11章 广义积分和含参变量的积分198

11.1 广义积分198

11.1.1 无穷积分的收敛性198

11.1.2 收敛的精细判别法201

11.1.3 无界函数积分的收敛判别法203

习题11.1205

11.2 含参变量的常义积分206

11.2.1 含参变量的常义积分的性质206

11.2.2 积分限依赖于参变量的积分的性质209

习题11.2211

11.3 含参变量的广义积分212

11.3.1 含参变量的广义积分的一致收敛性212

11.3.2 一致收敛积分的性质215

11.3.3 几个重要的积分219

习题11.3223

11.4 Euler积分225

11.4.1 Г函数的性质225

11.4.2 B函数的性质227

习题11.4231

第12章 Fourier分析232

12.1 周期函数的Fourier级数232

12.1.1 三角函数系的正交性和Fourier级数232

12.1.2 偶函数与奇函数的Fourier级数236

12.1.3 任意周期的情形238

12.1.4 有限区间上的函数的Fourier级数241

12.1.5 Bessel不等式245

12.1.6 Fourier级数的复数形式248

习题12.1250

12.2 Fourier积分与Fourier变换252

12.2.1 Fourier积分252

12.2.2 Fourier变换254

12.2.3 Fourier变换的性质257

习题12.2259

12.3 广义Fourier级数与Bessel不等式259

12.3.1 广义Fourier级数259

12.3.2 Bessel不等式和正交函数系的完备性261

习题12.3263

附录Ⅰ 部分习题参考答案及提示265

附录Ⅱ 参考教学进度283