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第1章 精确性经典数学的理论基础问题1

1.1古典集合论的诞生及其思想方法1

1.2何谓悖论9

1.3数学危机15

1.4近代公理集合论对悖论的解决方案21

第2章 关于模糊数学的理论基础问题28

2.1模糊性与模糊数学28

2.2奠基于精确性经典数学之上的模糊数学32

2.2.1模糊拓扑35

2.2.2模糊代数37

2.3 ZB公理集合论系统38

2.4中介数学系统48

2.4.1两种谓词的划分与定义49

2.4.2集合的运算51

2.4.3谓词与集合53

2.4.4小集与巨集56

2.4.5 MS与ZFC之间的关系58

2.4.6逻辑数学悖论在MS中的解释方法61

2.5从计算机科学与数学研究的角度看中介系统的发展63

2.5.1中介系统目前的发展概况63

2.5.2中介系统的哲学背景64

2.5.3中介系统的思想原则65

2.5.4数学研究对象的再扩充66

2.5.5概括原则的修改问题68

2.5.6经典数学系统和中介数学系统之间的关系69

2.5.7中介系统在计算机科学中的应用前景70

第3章 数学无穷与数学基础72

3.1无穷观问题的简要历史回顾72

3.1.1两种无穷观的萌芽72

3.1.2两种无穷观的确立72

3.1.3 Zeno悖论与无穷观问题的关系及其引起的思考73

3.1.4无穷观问题从文艺复兴到微积分时代的演变74

3.1.5数学基础诸流派在无穷观问题上的争论74

3.1.6无穷观问题之困惑和迷茫76

3.2两种无穷观的区别和联系77

3.2.1何谓实无限与潜无限77

3.2.2潜无限与实无限之间的对立关系84

3.2.3第三种无限——基础无限86

3.3数学系统对两种无穷观的兼容性89

3.4近现代数学系统中的一对互相矛盾的隐性思想规定91

3.4.1隐性思想规定之一91

3.4.2隐性思想规定之二94

3.4.3两点注记95

3.5 Cantor-Zermelo意义下的无穷集合概念的自相矛盾性96

3.5.1简记与注释96

3.5.2可数无穷集合的不相容性98

3.5.3 ZFC框架中的不可数无穷集合的不相容性100

3.5.4若干相关的历史性直觉判断102

3.6再论古典集合论与近代公理集合论中之无穷集合概念的矛盾性103

3.6.1弹性集合与Cauchy剧场103

3.6.2古典集合论与近代公理集合论中的狭义Cauchy剧场现象105

3.6.3超穷弹性集合与超穷Cauchy剧场108

3.6.4 ZFC框架下的超穷Cauchy剧场现象109

3.7 Cantor-Hilbert对角线方法与不可数无穷集合的存在性110

3.7.1简要回顾110

3.7.2对角线方法与相异实数有穷差位判别原则111

3.7.3对角线方法中的“每一”与“所有”112

3.7.4一点注记113

3.8分析基础中的无穷观问题114

3.8.1微积分与极限论的简要历史回顾114

3.8.2简记与注释116

3.8.3关于极限表达式的可定义与可实现概念117

3.8.4分析基础中的新Berkeley悖论119

3.8.5注记之（一）121

3.8.6注记之（二）123

3.9非直接使用poi与aci观念下的自然数系统的不相容性125

3.9.1注释与简记125

3.9.2恰由全体自然数构成之集合的不相容性证明126

3.9.3续论与说明128

第4章 潜无限数学系统131

4.1潜无限数学系统（Ⅰ）——预备知识131

4.1.1预备知识之一——背景世界的划分原则131

4.1.2预备知识之二——关于构建潜无穷数学系统的几点说明133

4.2潜无限数学系统（Ⅱ）——逻辑基础之形式系统134

4.2.1 PIMS命题逻辑的自然推理系统pPIN134

4.2.2 PIMS谓词逻辑的自然推理系统FPIN136

4.3潜无限数学系统（Ⅲ）——逻辑基础之元理论143

4.4潜无限数学系统（Ⅳ）——集合论基础154

第5章 建立中介实无限数学系统的思考与原则162

5.1关于近现代数学中谓词与集合之间的无穷观问题的思考162

5.1.1近现代数学中关于数集与区间内变量趋向极限之表示法的对比分析162

5.1.2近现代数学中实无限刚性自然数集合与中介过渡165

5.2实无限刚性集合之内涵与结构166

5.2.1无穷背景世界中谓词与集合之间的客观真实关系166

5.2.2建立中介实无限数学系统的重要性与必要性169

5.2.3基础无限弹性体与实无限刚性集合的结构模式170

第6章 中介与二值两种逻辑框架的不可缺失性175

6.1预备知识175

6.2中介逻辑与数学物理危机175

6.2.1中介观念与第一次数学危机176

6.2.2中介观念与物理危机177

6.2.3中介观念与第二次数学危机178

6.2.4中介对象与Newton的“O”180

6.3光物质波粒二象性的逻辑基础182

6.4 Leibniz割线切线问题在数学无穷之逻辑基础层面上的分析与研究185

6.4.1变量x无限趋近其极限x0的poi方式与aci方式185

6.4.2谓词与集合层面上的poi与aci187

6.4.3关于Leibniz的割线与切线问题187

6.5 Leibniz割线切线问题在中介逻辑框架下的逻辑数学解释方法189

6.5.1排中律的命题化分析和谓词层面上的潜无限与实无限189

6.5.2非此非彼概念在中介逻辑框架下的逻辑表达式190

6.5.3 Leibniz割线与切线问题在中介逻辑系统中的逻辑数学解释方法190

6.6关于△y/△x有意义&dy/dx是切线斜率在中介逻辑系统中的数学解读与逻辑分析193

6.6.1关于6.5.3中⑦与⑧合并后之（*）（△y/△x有意义&dy/dx是切线斜率）的逻辑数学解读193

6.6.2关于△x的[＞0处理与[=0]处理在CL和ML中的逻辑分析196

6.7 Zeno第二个悖论在数学无穷之逻辑基础层面上的分析与研究198

6.7.1关于Zeno第二个悖论的解说199

6.7.2 Zeno第二个悖论在变量与极限概念中的表述方式199

6.7.3 Zeno第二个悖论之（△S/△t有意义&A？T）在中介逻辑系统中的逻辑数学解释方法200

6.7.4解决Zeno第二个悖论的方法在中介逻辑系统中的科普解读方式202

6.8关于△S/△t有意义&A？T在中介逻辑系统中的逻辑数学解读与逻辑分析202

6.8.1对（△S/△t有意义&A？T）在中介逻辑系统中进行逻辑数学解读与逻辑分析的必要性202

6.8.2关于6.7.3中⑦和⑧合并之后的（*）（△S/△t有意义&A？T）的逻辑数学解读203

6.8.3关于△t的[＞0和[=0]处理在CL和ML中的逻辑分析205

6.9定积分的定义及其计算曲边梯形面积问题205

6.10含义概述与简要总结207

附录 简评与答复“有关无限观的三个问题”中的问题208

参考文献227

后记236