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第1章 函数、极限与连续1

1.1 初等函数1

1.1.1 函数的概念1

1.1.2 基本初等函数4

1.1.3 复合函数、初等函数6

1.1.4 双曲函数8

1.1.5 建立函数关系举例8

习题1.19

1.2 极限10

1.2.1 数列的极限10

1.2.2 函数的极限11

习题1.213

1.3 无穷小与无穷大13

1.3.1 无穷小13

1.3.2 无穷大16

1.3.3 无穷大与无穷小的关系16

习题1.317

1.4 极限的运算17

1.4.1 极限的四则运算法则17

1.4.2 两个重要极限19

习题1.421

1.5 函数的连续性与间断点22

1.5.1 函数连续性的概念22

1.5.2 初等函数的连续性23

1.5.3 函数的间断点24

1.5.4 闭区间上连续函数的性质26

习题1.527

数学史话——极限思想的产生和发展27

第2章 导数和微分30

2.1 导数的概念30

2.1.1 导数的定义30

2.1.2 可导与连续的关系33

2.1.3 导数的实际意义34

习题2.135

2.2 导数的运算36

2.2.1 函数四则运算的求导法则36

2.2.2 复合函数和反函数的求导法则38

2.2.3 隐函数和由参数方程所确定函数的求导法则40

习题2.243

2.3 高阶导数43

2.3.1 高阶导数的概念43

2.3.2 二阶导数的力学意义44

习题2.345

2.4 微分的概念45

2.4.1 微分的定义45

2.4.2 微分的基本公式与运算法则47

2.4.3 微分在近似计算中的应用举例48

2.4.4 弧微分50

习题2.451

数学史话——微积分学的产生和发展52

第3章 导数的应用55

3.1 微分中值定理55

3.1.1 罗尔定理55

3.1.2 拉格朗日中值定理56

习题3.157

3.2 洛必达法则57

3.2.1 0/0型未定式58

3.2.2 ∞/∞型未定式59

习题3.260

3.3 函数的单调性与极值60

3.3.1 函数单调性的判定60

3.3.2 函数的极值与最值62

习题3.367

3.4 曲线的凹凸性和拐点67

3.4.1 曲线的凹凸性67

3.4.2 曲线的拐点69

习题3.470

3.5 函数图像的描绘70

3.5.1 曲线的渐近线70

3.5.2 描绘简单函数的图像71

习题3.572

3.6 曲线的曲率73

3.6.1 曲率的概念73

3.6.2 曲率的计算公式74

3.6.3 曲率圆和曲率半径76

习题3.677

第4章 不定积分78

4.1 原函数与不定积分78

4.1.1 原函数78

4.1.2 不定积分80

4.1.3 不定积分的几何意义80

习题4.181

4.2 不定积分的基本公式和运算法则直接积分法82

4.2.1 不定积分的基本公式82

4.2.2 不定积分的运算法则83

4.2.3 直接积分法84

习题4.285

4.3 换元积分法85

4.3.1 第一类换元积分法85

4.3.2 第二类换元积分法91

习题4.394

4.4 分部积分法95

习题4.498

第5章 定积分及其应用99

5.1 定积分的概念及性质99

5.1.1 两个实例99

5.1.2 定积分的定义101

5.1.3 定积分的几何意义102

5.1.4 定积分的性质105

习题5.1107

5.2 微积分基本定理108

5.2.1 积分上限函数109

5.2.2 微积分基本定理110

习题5.2112

5.3 定积分的换元法与分部积分法112

5.3.1 定积分的换元法112

5.3.2 定积分的分部积分法115

习题5.3116

5.4 定积分的近似计算116

5.4.1 矩形法116

5.4.2 梯形法117

5.4.3 抛物线法118

习题5.4119

5.5 定积分在几何中的应用119

5.5.1 定积分的微元法119

5.5.2 平面图形的面积120

5.5.3 体积122

习题5.5124

5.6 定积分在物理中的应用125

5.6.1 变力沿直线所做的功125

5.6.2 液体的静压力126

5.6.3 函数的平均值127

习题5.6129

5.7 广义积分130

5.7.1 无穷区间上的广义积分130

5.7.2 有无穷间断点函数的广义积分131

习题5.7133

第6章 向量与空间解析几何134

6.1 空间直角坐标系与向量的概念134

6.1.1 空间直角坐标系134

6.1.2 向量的概念及其运算135

6.1.3 向量的坐标表达式137

习题6.1139

6.2 两向量的点积与叉积140

6.2.1 两向量的点积140

6.2.2 两向量的叉积142

习题6.2143

6.3 平面与直线143

6.3.1 平面方程143

6.3.2 直线方程145

习题6.3147

6.4 曲面与空间曲线147

6.4.1 曲面及其方程148

6.4.2 空间曲线及其方程151

6.4.3 二次曲面152

习题6.4154

数学史话——解析几何的产生和发展155

第7章 多元函数微积分157

7.1 多元函数的概念157

7.1.1 多元函数的定义157

7.1.2 二元函数的几何意义159

习题7.1159

7.2 偏导数160

7.2.1 偏导数的概念160

7.2.2 高阶偏导数162

习题7.2164

7.3 全微分164

7.3.1 全微分的定义164

7.3.2 全微分在近似计算中的应用举例166

习题7.3166

7.4 偏导数的应用166

7.4.1 二元函数极值的概念167

7.4.2 二元函数极值的判别法167

7.4.3 条件极值169

习题7.4170

7.5 二重积分170

7.5.1 二重积分的概念170

7.5.2 二重积分的性质173

7.5.3 二重积分的计算174

7.5.4 二重积分的应用举例178

习题7.5180

第8章 数学实验181

实验1 函数、极限与连续181

实验1习题194

实验2 导数与微分195

实验2习题197

实验3 导数的应用197

实验3习题199

实验4 不定积分与定积分199

实验4习题201

实验5 空间解析几何201

实验5习题205

实验6 多元函数微积分205

实验6习题208

参考答案209