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第1章 什么是数阵1

1.1背景问题1

1.1.1来自“挂历”的问题1

1.1.2扩大乘法表2

1.1.3杨辉三角3

1.2数阵的基本概念5

1.2.1平面数阵5

1.2.2 n维数阵6

1.3数阵运算与数阵群7

1.3.1数阵间的相等关系7

1.3.2数阵运算8

1.3.3数阵群8

习题、问题与课题9

部分问题的分析、解答9

第2章 等差与等比数阵13

2.1等差数阵的基本性质13

2.1.1面积分布问题13

2.1.2等差数阵的基本性质15

2.2等差数阵的进一步性质18

2.3等比数阵22

2.3.1定义和性质22

2.3.2无穷递缩数阵23

2.4等差-等比数阵26

2.4.1一阶等差-等比数阵26

2.4.2高阶等差-等比数阵27

2.4.3高价差等比数阵30

习题、问题与课题33

部分问题的分析、解答33

第3章（m，n）阶等差数阵35

3.1（1，2）阶等差数阵35

3.1.1多边形数35

3.1.2（1，2）阶等差数阵36

3.1.3通项公式37

3.1.4判定问题38

3.1.5高阶等差子数列39

3.2预备知识39

3.2.1数列的差分40

3.2.2高阶等差数列41

3.2.3二元多项式的偏差分42

3.3（m， n）阶等差数阵42

3.3.1定义及基本性质42

3.3.2通项公式与判定定理43

3.3.3对角线数列44

3.4数阵的划分45

3.4.1数列的划分45

3.4.2高阶等差数阵的划分46

习题、问题与课题49

部分问题的分析、解答49

第4章 几何数阵52

4.1面积分布数阵52

4.2多边形数阵53

4.2.1棱锥数阵53

4.3空间分割问题54

4.4立方体元素计数问题56

4.5单纯形元素计数问题58

4.6平面格图中的计数问题59

4.7三维格图中的计数问题60

4.8 n维格图中的计数问题60

习题、问题与课题61

部分问题的分析、解答62

第5章 数论数阵64

5.1素筛数阵64

5.1.1一个命题64

5.1.2研究哥德巴赫猜想的一种思路66

5.2余新河数学题67

5.2.1余题概观67

5.2.2问题变换68

5.2.3公式赏析70

5.3余新河数学题（续）72

5.3.1问题探幽72

5.3.2百万港元巨奖欲领不能73

5.4方螺旋数阵76

5.4.1方螺旋阵76

5.4.2性质76

5.4.3简单应用78

5.5自然数阵80

5.5.1斜-直自然数阵80

5.5.2半方螺旋数阵83

5.6平方筛选数阵84

5.6.1背景问题84

5.6.2平方（位）筛选数阵85

5.6.3数阵A的通项公式86

5.6.4数阵A性质的证明89

5.6.5说明与反思90

习题、问题与课题92

部分问题的分析、解答92

第6章 平面递归数阵95

6.1两个实例95

6.1.1杨辉阵95

6.1.2空间分割数阵96

6.2斐波那契数阵96

6.2.1一个跳格问题96

6.2.2母函数97

6.2.3通项公式100

6.2.4几条推论102

6.3二元线性递归数阵103

6.4周期数阵105

6.4.1关于周期数阵的定义105

6.4.2正规周期数阵107

6.4.3通项公式108

6.4.4一个有趣的周期数阵110

习题、问题与课题111

部分问题的分析、解答112

第7章 类杨辉数阵114

7.1类杨辉等比数阵115

7.1.1一道高考题115

7.1.2类杨辉数阵116

7.2奇边类杨辉数阵118

7.2.1从一道奥林匹克训练题谈起118

7.2.2奇边类杨辉数阵118

7.2.3奇边类杨辉数阵的通项公式120

7.3类杨辉数阵121

7.3.1斜通项公式的推导121

7.3.2直通项公式124

7.3.3几点应用124

7.3.4待研究的课题127

7.4数阵的一种迭代127

7.4.1问题128

7.4.2归纳研究128

7.4.3定理的证明129

7.4.4X0（n）的几条性质131

习题、问题与课题131

部分问题的分析、解答131

第8章 小非元——一个博弈数阵134

8.1从抽象出发134

8.1.1最小非元素问题134

8.1.2小非元阵的结构136

8.1.3小非元阵的其他性质137

8.2小非元阵的通项公式137

8.2.1观察、猜想、实验138

8.2.2通项公式139

8.2.3应用举例140

8.3 Me的尼姆博弈性质141

8.3.1何为尼姆博弈141

8.3.2战胜策略142

8.3.3几种变形和推广144

8.3.4 Me的尼姆性质145

8.4数学模型146

8.4.1四种模型146

8.4.2 Me尼姆性质的证明146

8.4.3 Me的使用方法148

8.4.4一点想法148

习题、问题与课题148

部分问题的分析、解答149

第9章 数阵对角线的功能151

9.1从奇数的多少谈起151

9.1.1关于奇数与自然数孰多孰少的争论151

9.1.2等势的性质152

9.1.3对“无穷集合”的认识152

9.2可数集——与自然数集等势的集合153

9.2.1“个数”概念的扩充153

9.2.2可数集154

9.2.3可数势a的几条性质157

9.3连续统势157

9.3.1 a是最小的超限数157

9.3.2连续统势c的几条性质159

9.3.3连续集159

9.4越来越稠密的集合160

9.4.1幂集160

9.4.2势的等级161

习题、问题与课题162

部分问题的分析、解答162

第10章 高维数阵165

10.1三维（立体）等差数阵165

10.1.1基本概念165

10.1.2通项公式与判别方法167

10.1.3其他性质168

10.2 （m，n，p）阶等差数阵170

10.2.1定义与性质170

10.2.2通项公式和判定方法171

10.3 n维等差数阵的基本性质173

10.3.1几个定义173

10.3.2 n维等差数阵的公差173

10.3.3通项公式174

10.3.4判别方法177

10.4（m1，…，mn）阶等差数阵177

10.4.1多元多项式的偏差分178

10.4.2定义与通项公式178

10.4.3公差与判定179

习题、问题与课题180

部分问题的分析、解答181

第11章 数阵杂题集解183

11.1自然数的各种排布183

11.2等差、等比数阵185

11.3类杨辉数阵189

11.4数阵的子阵、子列的性质194

11.5其他数阵198

11.6数阵中的行列式201

习题、问题与课题203

部分问题的分析、解答205

参考文献207

附录 等差数阵的性质及应用210

后记215