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A篇 集合论1

第一章 集合论的基本概念3

1.1 集合的概念3

1.2 集合的规范说明方法4

1.3 集合论中的等同与基数8

1.4 子集合10

1.5 幂集11

1.6 集合的并与集合的交11

1.7 集合的差与集合的补15

1.8 集合论中的几个等式17

练习23

第二章 关系和函数27

2.1 有序对与卡氏积27

2.2 关系28

2.3 函数30

2.4 函数的组合33

练习36

第三章 关系的性质39

3.1 自反性、对称性、传递性和连通性39

3.2 关系的图示43

3.3 关系的逆与关系的补的性质44

3.4 等价关系与划分45

3.5 序47

练习51

第四章 无限性55

4.1 等价集合与基数55

4.2 集合的可枚举性58

4.3 不可枚举集合62

4.4 无限与无界70

练习71

附录A：用集合论再构建数的系统75

A.1 自然数75

A.2 扩充到全部的整数集78

A.3 扩充到全部的有理数集80

A.4 扩充到全部的实数集81

复习练习83

3篇 逻辑和形式系统85

第五章 逻辑和形式系统的基本概念87

5.1 形式系统与模型87

5.2 自然语言与形式语言91

5.3 句法与语义92

5.4 关于命题逻辑与谓词逻辑93

第六章 命题逻辑97

6.1 命题逻辑的句法97

6.2 命题逻辑的语义：真值与真值表99

6.2.1 否定99

6.2.2 合取100

6.2.3 析取101

6.2.4 条件102

6.2.5 双条件103

6.3 重言命题、矛盾命题与相依命题104

6.4 逻辑等价、逻辑结论与逻辑定律108

6.5 命题逻辑中的自然演绎112

6.5.1 条件证明118

6.5.2 间接证明120

6.6 命题逻辑中的贝思（Beth）表121

练习128

第七章 谓词逻辑135

7.1 谓词逻辑的句法135

7.2 谓词逻辑的语义140

7.3 量词定律与前束范式146

7.4 谓词逻辑中的自然演绎152

7.5 谓词逻辑中的贝思（Beth）表163

7.6 形式证明与非形式证明168

7.7 数学证明中的非形式风格170

练习173

第八章 形式系统、公理化与模型理论179

8.1 形式系统的句法方面179

8.1.1 递归定义179

8.2 公理系统与推导183

8.2.1 扩展公理系统186

8.3 半图厄（semi-Thue）系统190

8.4 皮亚诺（Peano）公理与归纳证明192

8.5 形式系统的语义方面：模型理论198

8.5.1 理论与模型198

8.5.2 一致性、完备性与独立性200

8.5.3 同构202

8.5.4 一个基础的形式系统204

8.5.5 关于顺序关系的公理206

8.5.6 关于符号串毗连的公理211

8.5.7 皮亚诺（Peano）公理的模型214

8.5.8 集合论的公理化215

8.6 公理化逻辑217

8.6.1 命题逻辑的公理化217

8.6.2 一致性的证明与独立性的证明220

8.6.3 谓词逻辑的公理化223

8.6.4 关于完备性的证明225

8.6.5 可判定性227

8.6.6 哥德尔（G？del）不完备性定理228

8.6.7 高阶逻辑229

练习232

附录B.Ⅰ：各种不同的逻辑符号与联结词237

附录B.Ⅱ：克林（Kleene）的三值逻辑239

复习练习243

C篇 代数245

第九章 代数的基本概念247

9.1 代数的定义247

9.2 运算的性质248

9.3 几个特殊的元249

9.4 映射与同型251

练习253

第十章 运算的结构255

10.1 群255

10.2 子群、半群与幺半群261

10.3 整域264

10.4 同型269

练习271

第十一章 格275

11.1 部分有序集、对偶性与图275

11.2 格、半格与子格278

11.3 格论中的同型283

11.4 筛选格与理想格285

11.5 有补格、分配格与模块格288

练习293

第十二章 布尔（Boolean）代数与赫廷（Heyting）代数295

12.1 布尔代数295

12.2 布尔代数的模式298

12.3 布尔代数的集合表示299

12.4 赫廷代数301

12.5 克里普克（Kripke）语义学304

练习307

复习练习309

D篇 作为形式语言的英语313

第十三章 基本概念315

13.1 组成性原则315

13.1.1 命题逻辑的组成性说明317

13.1.2 谓词逻辑的组成性说明321

13.1.3 自然语言与组成性原则331

13.2 λ（Lambda）抽象336

13.2.1 类型理论336

13.2.2 λ抽象的句法与语义339

13.2.3 一个样本的片段341

13.2.4 λ演算346

13.2.5 语言学应用349

练习365

第十四章 广义量词371

14.1 限定词与量词371

14.2 量词的条件373

14.3 限定词与量词的性质378

14.4 作为关系的限定词388

14.5 上下文与量词化392

练习397

第十五章 内涵性401

15.1 弗雷格（Frege）的两个问题401

15.2 不透明性的形式407

15.3 索引与可达性关系412

15.4 时态与时间421

15.5 索引性425

练习427

E篇 形式语言、形式语法与自动机429

第十六章 基本概念431

16.1 语言、语法和自动机431

16.2 语法435

16.3 树形图437

16.3.1 支配关系438

16.3.2 前于关系439

16.3.3 标记441

16.4 语法与树形图444

16.5 乔姆斯基（Chomsky）层级448

16.6 语言与自动机451

第十七章 有限自动机、正则语言与3型语法453

17.1 有限自动机453

17.1.1 有限自动机的状态图455

17.1.2 确定性有限自动机的形式定义455

17.1.3 非确定性有限自动机458

17.1.4 非确定性有限自动机的形式定义460

17.1.5 确定性有限自动机与非确定性有限自动机的等价问题460

17.2 正则语言462

17.2.1 有限自动机语言（fal）的抽吸定理（Pumping Theorem）468

17.3 3型语言与有限自动机语言（fal）471

17.3.3.1 正则语言的性质475

17.3.3.2 自然语言右线性语法的不足之处477

练习480

第十八章 下推自动机、上下文无关语法与上下文无关语言485

18.1 下推自动机485

18.2 上下文无关语法与上下文无关语言490

18.3 上下文无关语言（cfl）的抽吸定理492

18.4 上下文无关语言的闭包特性495

18.5 上下文无关语言的可判定性问题498

18.6 自然语言是上下文无关的吗？501

练习503

第十九章 图灵机、递归可枚举语言与0型语法505

19.1 图灵机（Turing machine）505

19.1.1 图灵机的形式定义508

19.2 图灵机的等价性阐释512

19.3 非限定语法与图灵机513

19.4 丘奇（Church）假设515

19.5 递归集合与递归可枚举集合517

19.6 通用图灵机518

19.7 图灵机的停机问题520

练习523

第二十章 线性有界自动机、上下文有关语言与1型语法527

20.1 线性有界自动机527

20.1.1 线性有界自动机（Lba）与上下文有关语法528

20.2 上下文有关语言与递归集合529

20.3 上下文有关语言的闭包特性与判定特性531

练习532

第二十一章 介于上下文无关与上下文有关之间的语言533

21.1 索引语法534

21.2 树邻接语法540

21.3 中心词语法546

21.4 范畴语法547

第二十二章 转换语法553

附录E-Ⅰ：乔姆斯基（Chomsky）层级559

附录E-Ⅱ：语义自动机563

练习570

复习练习571

练习答案选573

各篇参考文献635

索引647