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第2篇 线性代数238

2.1 计算行列式238

2.1.1 计算数字型行列式238

题型2.1.1.1 计算非零元素（主要）在一条或两条线上的行列式238

题型2.1.1.2 计算非零元素在三条线上的行列式240

题型2.1.1.3 计算行（列）和相等的行列式241

题型2.1.1.4 计算范德蒙行列式242

题型2.1.1.5 求代数余子式之和的值243

题型2.1.1.6 计算n阶可逆矩阵的所有代数余子式的和244

题型2.1.1.7 求行列式中含某因子的所有项244

2.1.2 计算抽象矩阵的行列式245

题型2.1.2.1 计算由行（列）向量表示的矩阵的行列式的值245

题型2.1.2.2 计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式246

题型2.1.2.3 计算含零子块的四分块矩阵的行列式247

题型2.1.2.4 证明方阵的行列式等于零247

2.1.3 克拉默法则的应用248

2.2 矩阵251

2.2.1 证明矩阵的可逆性251

题型2.2.1.1 证明矩阵可逆251

题型2.2.1.2 证明和（差）矩阵可逆253

题型2.2.1.3 证明方阵为不可逆矩阵254

2.2.2 矩阵元素给定，求其逆矩阵的方法254

2.2.3 求解与伴随矩阵有关的问题256

题型2.2.3.1 计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式256

题型2.2.3.2 求与伴随矩阵有关的矩阵的逆矩阵257

题型2.2.3.3 求与伴随矩阵有关的矩阵的秩258

题型2.2.3.4 求伴随矩阵259

题型2.2.3.5 证明伴随矩阵的性质260

2.2.4 计算方阵高次幂的方法260

2.2.5 求矩阵的秩265

题型2.2.5.1 求元素具体给定的矩阵的秩265

题型2.2.5.2 求抽象矩阵的秩266

题型2.2.5.3 已知矩阵的秩，求其待定常数269

2.2.6 分块矩阵乘法运算的应用270

2.2.7 初等变换与初等矩阵的关系的应用271

题型2.2.7.1 用初等矩阵表示初等变换271

题型2.2.7.2 利用初等矩阵的性质计算矩阵272

题型2.2.7.3 利用矩阵的初等变换性质解题273

2.2.8 求解矩阵方程273

题型2.2.8.1 求解含单位矩阵E加项的矩阵方程274

题型2.2.8.2 求解只含一个未知矩阵的矩阵方程275

题型2.2.8.3 求解含多个未知矩阵的矩阵方程275

题型2.2.8.4 已知一矩阵方程，求方程中某矩阵的行列式277

2.2.9 求解与矩阵等价的有关问题278

题型2.2.9.1 判别两矩阵等价278

题型2.2.9.2 利用矩阵等价的性质求解有关问题279

2.3 向量280

2.3.1 判别向量组线性相关、线性无关280

题型2.3.1.1 用线性相关性定义做选择题、填空题280

题型2.3.1.2 判别分量已知的向量组的线性相关性281

题型2.3.1.3 证明几类向量组的线性相关性283

题型2.3.1.4 已知向量组的线性相关性，求其待定常数288

2.3.2 判定向量能否由向量组线性表示289

题型2.3.2.1 判定分量已知的向量能否由向量组线性表示289

题型2.3.2.2 判断一抽象向量能否由向量组线性表示290

题型2.3.2.3 判别一向量组可否由另一向量组线性表示291

2.3.3 两向量组等价的判别方法及常用证法292

2.3.4 向量组的秩与极大线性无关组的求（证）法295

题型2.3.4.1 求分量给出的向量组的秩及其极大无关组295

题型2.3.4.2 将向量用极大线性无关组线性表示296

题型2.3.4.3 求解（证明）与向量组的秩有关的问题297

题型2.3.4.4 证一向量组为一极大无关组298

2.3.5 将线性无关向量组正交规范化299

2.4 线性方程组301

2.4.1 判定线性方程组解的情况301

题型2.4.1.1 判定齐次线性方程组解的情况301

题型2.4.1.2 判定非齐次线性方程组解的情况304

2.4.2 由其解反求方程组或其参数305

题型2.4.2.1 已知AX=0的解的情况，反求A中参数305

题型2.4.2.2 已知AX=b的解的情况，反求方程组中参数306

题型2.4.2.3 已知其基础解系，求该方程组的系数矩阵307

2.4.3 证明一组向量为基础解系308

2.4.4 基础解系和特解的简便求法310

2.4.5 求解含参数的线性方程组311

题型2.4.5.1 求解方程个数与未知数个数相等的含参数的线性方程组312

题型2.4.5.2 求解方程个数与未知数个数不等的含参数的线性方程组316

题型2.4.5.3 求解参数仅出现在常数项的线性方程组316

题型2.4.5.4 求解通解满足一定条件的含参数的方程组317

题型2.4.5.5 求解有无穷多解的矩阵方程318

2.4.6 求抽象线性方程组的通解319

题型2.4.6.1 A没有具体给出，求AX=0的通解319

题型2.4.6.2 已知AX=b的特解，求其通解320

题型2.4.6.3 利用线性方程组的向量形式求（证明）其解322

2.4.7 求两线性方程组的非零公共解323

题型2.4.7.1 求两齐次线性方程组的非零公共解323

题型2.4.7.2 证明两齐次线性方程组有非零公共解324

题型2.4.7.3 讨论两方程组同解的有关问题324

2.5 矩阵的特征值、特征向量327

2.5.1 求矩阵的特征值、特征向量327

题型2.5.1.1 求元素已给出的矩阵的特征值、特征向量327

题型2.5.1.2 求（证明）抽象矩阵的特征值、特征向量329

2.5.2 由特征值和（或）特征向量反求其矩阵331

题型2.5.2.1 由特征值和（或）特征向量反求其矩阵的待定常数331

题型2.5.2.2 已知特征值、特征向量，反求其矩阵332

2.5.3 已知一矩阵的特征值、特征向量，求相关联矩阵的特征值、特征向量334

2.5.4 判别或证明方阵是否可对角化336

题型2.5.4.1 判别元素给定的矩阵是否可对角化336

题型2.5.4.2 判别或证明含重特征值的矩阵是否可对角化337

题型2.5.4.3 判别或证明满足抽象矩阵等式的矩阵是否可对角化337

2.5.5 相似矩阵的判别及其性质的简单应用338

题型2.5.5.1 判定两方阵是否相似339

题型2.5.5.2 相似矩阵性质的简单应用340

2.5.6 与两矩阵相似有关的计算341

题型2.5.6.1 n阶矩阵A可相似对角化，求A中待定常数及可逆矩阵P，使P-1AP=diag（λ1，λ2，…，）（λi为A的特征值）341

题型2.5.6.2 求n阶实对称矩阵A中待定常数及正交矩阵Q，使Q-1 AQ=QT AQ=diag（λ1，λ2，…，λn）（λi为A的特征值）343

题型2.5.6.3 A为实对称矩阵，求与其相似的对角矩阵A344

题型2.5.6.4 已知矩阵A和可逆阵P，使P-1 AP=B，求方阵B345

题型2.5.6.5 计算相似矩阵的高次幂（详见2.2.4节）345

2.6 二次型346

2.6.1 求二次型的矩阵及其秩346

题型2.6.1.1 用矩阵形式表示二次型346

题型2.6.1.2 求二次型的秩347

2.6.2 化标准形及由标准形确定二次型348

题型2.6.2.1 化二次型为标准形、规范形348

题型2.6.2.2 将实对称矩阵合同对角化354

题型2.6.2.3 由二次型的标准形确定该二次型356

2.6.3 判别（证明）实二次型（实对称矩阵）的正定性356

题型2.6.3.1 判别或证明具体给定的二次型或其矩阵的正定性357

题型2.6.3.2 判别或证明抽象的二次型（实对称矩阵）的正定性357

题型2.6.3.3 确定参数值或其取值范围使二次型或其矩阵正定360

2.6.4 判别两矩阵是否合同361

题型2.6.4.1 判别（证明）两实对称矩阵合同361

题型2.6.4.2 判别（证明）两矩阵不合同363

2.6.5 讨论矩阵等价、相似及合同的关系363

第3篇 概率论与数理统计366

3.1 随机事件和概率366

3.1.1 随机事件间的关系及其运算366

题型3.1.1.1 描绘随机试验的样本空间366

题型3.1.1.2 用式子表示事件关系366

题型3.1.1.3 利用事件运算的性质或图示法简化事件算式367

题型3.1.1.4 求满足一定条件的事件关系367

3.1.2 直接计算随机事件的概率368

题型3.1.2.1 计算古典型概率368

题型3.1.2.2 计算几何型概率370

题型3.1.2.3 计算伯努利概型中事件的概率371

3.1.3 间接计算随机事件的概率372

题型3.1.3.1 计算和、差、积事件的概率372

题型3.1.3.2 求与包含关系有关的事件的概率375

题型3.1.3.3 计算与互斥事件有关的事件的概率375

题型3.1.3.4 求与条件概率有关的事件的概率376

题型3.1.3.5 求与他事件有关的单个事件的概率376

题型3.1.3.6 判别或证明事件概率不等式377

3.1.4 几个计算概率公式的实际应用377

题型3.1.4.1 用加法公式求解实际应用题377

题型3.1.4.2 用条件概率与概率的乘法公式求解实际应用题378

题型3.1.4.3 用全概率公式和逆概率（贝叶斯）公式求解实际应用题379

题型3.1.4.4 利用抽签原理计算事件概率382

3.1.5 判别事件的独立性382

题型3.1.5.1 判别（证明）两事件相互独立382

题型3.1.5.2 判别（证明）n（n＞2）个事件相互独立384

3.2 一维随机变量及其分布386

3.2.1 分布列、概率密度及分布函数性质的应用386

题型3.2.1.1 判别分布列、概率密度及分布函数387

题型3.2.1.2 利用分布的性质，确定待定常数或所满足的条件389

题型3.2.1.3 求随机变量落在某点或某区间上的概率390

3.2.2 求分布列（概率分布）、概率密度及分布函数391

题型3.2.2.1 求概率分布（分布律）及分布函数391

题型3.2.2.2 求连续型或混合型随机变量的分布函数或其取值393

题型3.2.2.3 求概率密度396

3.2.3 利用常用分布计算事件的概率396

题型3.2.3.1 利用二项分布计算伯努利概型中事件的概率397

题型3.2.3.2 利用超几何分布计算事件的概率399

题型3.2.3.3 利用几何分布计算事件的概率399

题型3.2.3.4 利用泊松分布计算事件的概率400

题型3.2.3.5 利用均匀分布计算事件的概率401

题型3.2.3.6 利用指数分布计算事件的概率401

题型3.2.3.7 利用正态分布计算事件的概率403

题型3.2.3.8 利用相关分布与二项分布相结合计算事件的概率406

3.2.4 求随机变量函数的分布407

题型3.2.4.1 求离散型随机变量函数的概率分布407

题型3.2.4.2 求连续型随机变量函数的分布408

题型3.2.4.3 讨论随机变量函数分布的性质412

3.3 二维随机变量的联合概率分布413

3.3.1 求二维随机变量的分布413

题型3.1.1.1 求二维离散型随机变量的联合分布律413

题型3.3.1.2 求二维随机变量的边缘分布417

题型3.3.1.3 由联合分布、边缘分布求条件分布420

题型3.3.1.4 由条件分布反求联合分布、边缘分布423

题型3.3.1.5 已知分区域定义的联合密度，求其分布函数424

3.3.2 随机变量的独立性425

题型3.3.2.1 判别两随机变量的独立性425

题型3.3.2.2 利用独立性确定联合分布中的待定常数430

3.3.3 计算二维随机变量取值的概率431

题型3.3.3.1 计算两离散型随机变量运算后取值的概率431

题型3.3.3.2 求二维连续型随机变量落入平面区域内的概率432

题型3.3.3.3 求与max（X，Y）或（和）min（X，Y）有关的概率433

题型 3.3.3.4 求系数为随机变量的二次方程有根、无根的概率434

题型3.3.3.5 已知系数为随机变量的二次方程有根、无根的概率，反求该随机变量的分布434

3.3.4 求二维随机变量函数的分布434

题型3.3.4.1 已知（X，Y）的联合分布律，求Z=g（X，Y）的分布律434

题型3.3.4.2 求两连续型随机变量的简单函数的分布436

题型3.3.4.3 求分布连续型和离散型的两随机变量的简单函数的分布440

题型3.3.4.4 已知X，Y的分布，求max（X，Y）与min（X，Y）的分布441

3.4 随机变量的数字特征443

3.4.1 求一维随机变量的数字特征443

题型3.4.1.1 求随机变量的数学期望与方差443

题型3.4.1.2 求随机变量函数的数学期望与方差448

题型3.4.1.3 计算随机变量的矩451

3.4.2 求二维随机变量的数字特征451

题型3.4.2.1 求（X，Y）的函数g（X，Y）的数学期望和方差451

题型3.4.2.2 计算协方差和相关系数456

3.4.3 计算两类分布的数字特征464

题型3.4.3.1 计算二维正态分布的数字特征464

题型3.4.3.2 计算Z=max（X，Y）或（和）W=min（X，Y）的数字特征465

3.4.4 讨论随机变量相关性与独立性的关系468

题型3.4.4.1 确定两随机变量相关与不相关468

题型3.4.4.2 讨论相关性与独立性的关系469

3.4.5 已知数字特征，求分布中的待定常数470

3.4.6 求解两类综合应用题型471

题型3.4.6.1 求解与数字特征有关的实际应用题471

题型3.4.6.2 求解概率论与其他数学分支的综合应用题473

3.5 大数定律和中心极限定理476

3.5.1 用切比雪夫不等式估计事件的概率476

3.5.2 大数定律成立的条件和结论478

题型3.5.2.1 利用三个大数定律成立的条件解题480

题型3.5.2.2 求随机变量序列依概率的收敛值482

3.5.3 两个中心极限定理的简单应用483

题型3.5.3.1 利用棣莫弗-拉普拉斯定理近似计算事件的概率483

题型3.5.3.2 已知随机变量取值的概率，估计取值范围484

题型3.5.3.3 应用列维-林德伯格中心极限定理的条件和结论解题485

题型3.5.3.4 近似计算n个随机变量之和取值的概率486

题型3.5.3.5 已知n个随机变量之和取值的概率，求个数n487

3.6 数理统计初步488

3.6.1 求解统计量分布有关的问题488

题型3.6.1.1 求解与统计量分布有关的基本概念问题488

题型3.6.1.2 求统计量的分布及其分布参数490

题型3.6.1.3 求统计量取值的概率495

题型3.6.1.4 已知统计量取值的概率，反求取值范围497

题型3.6.1.5 求统计量的数字特征498

题型3.6.1.6 求经验分布函数500

3.6.2 参数估计501

题型3.6.2.1 求总体分布中未知参数的矩估计量（值）501

题型3.6.2.2 求未知参数的极（最）大似然估计量（值）505