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第7章 赋范向量空间中的微分学1

引言1

7.1 Fréchet导数；链式法则；Piola恒等式；对实值函数极值的应用2

7.2 赋范向量空间中的中值定理；第一个应用16

7.3 中值定理的应用：可微函数序列极限的可微性20

7.4 中值定理的应用：由积分定义函数的可微性23

7.5 中值定理的应用：Sard定理25

7.6 取值于Banach空间的C1类函数的中值定理28

7.7 解非线性方程的Newton方法；Banach空间中的Newton-Kantorovich定理29

7.8 高阶导数；Schwarz引理51

7.9 Taylor公式；对实值函数极值的应用59

7.10 应用：二阶线性椭圆算子的极大值原理65

7.11 应用：Rn中的Lagrange插值公式和多点Taylor公式75

7.12 凸函数及可微性；对实值函数极值的应用93

7.13 隐函数定理；第一个应用：映射A→A-1属于C∞类101

7.14 局部反演定理；Banach空间中关于C1类映射的区域不变性定理；映射A→A 1/2属于C∞类107

7.15 实值函数的约束极值；Lagrange乘子112

7.16 Lagrange函数及鞍点；原始和对偶问题118

第8章 Rn中的微分几何127

引言127

8.1 Rn的开子集中的曲线坐标128

8.2 度量张量；在曲线坐标下的体积和长度130

8.3 向量场的共变导数135

8.4 张量简介140

8.5 度量张量满足的必要条件；Riemann曲率张量148

8.6 具有指定度量张量的Rn开子集上浸入的存在性；Riemann几何的基本定理151

8.7 具有同一度量张量的浸入在相差一等距意义下的唯一性；Rn中开子集的刚性定理162

8.8 R3中曲面上的曲线坐标167

8.9 曲面的第一基本形式；曲面上的面积，长度和角度170

8.10 等距，等积及保形曲面175

8.11 曲面的第二基本形式；曲面上的曲率178

8.12 主曲率；Gauss曲率182

8.13 定义在曲面上向量场的共变导数；Gauss公式和Weingarten公式187

8.14 第一和第二基本形式满足的必要条件：Gauss方程和Codazzi-Mainardi方程191

8.15 Gauss绝妙定理；在制图学上的应用195

8.16 具有指定第一和第二基本形式的曲面的存在性；曲面基本定理198

8.17 具有同一基本形式的曲面的唯一性；曲面的刚性定理207

第9章 非线性泛函分析的重要定理211

引言211

9.1 作为与泛函极小化相关的Euler-Lagrange方程的非线性偏微分方程213

9.2 凸函数和在RU{∞｝中取值的序列下半连续函数218

9.3 强制序列弱下半连续泛函极小化子的存在性225

9.4 对von Kármán方程的应用229

9.5 在W1，p（Ω）中的极小化子的存在性237

9.6 对p-Laplace算子的应用246

9.7 多凸性；补偿紧性；非线性弹性中的John Ball存在定理248

9.8 Ekeland变分原理；满足Palais-Smale条件的泛函极小化子的存在性267

9.9 Brouwer不动点定理——第一个证明274

9.10 Brouwer定理的应用：借助Galerkin方法求解von Kármán方程282

9.11 Brouwer定理的应用：借助Galerkin方法求解Navier-Stokes方程285

9.12 Schauder不动点定理；Schafer不动点定理；Leray-Schauder不动点定理291

9.13 单调算子297

9.14 单调算子的Minty-Browder定理；对p-Laplace算子的应用300

9.15 Rn中的Brouwer拓扑度：定义和性质306

9.16 Brouwer不动点定理——第二个证明；毛球定理323

9.17 Borsuk定理及Borsuk-Ulam定理；Brouwer区域不变性定理325

文献注释335

参考文献339

主要符号373

名词索引381