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第1章 Lebesgue测度与Lebesgue积分1

1.1 集合1

1.1.1 集合的概念与运算1

1.1.2 可数集3

1.1.3 Rn中的点集4

1.1.4 直线上的开集、闭集及完备集的构造5

1.2 Lebesgue测度与可测函数6

1.2.1 Lebesgue测度6

1.2.2 可测函数8

1.3 勒贝格（Lebesgue）积分11

1.3.1 有界函数在测度有限可测集上的Lebesgue积分11

1.3.2 可测函数在任意可测集上的Lebesgue积分12

1.3.3 Lebesgue积分的极限性质13

习题一16

第2章 度量空间与Banach空间19

2.1 线性空间、度量空间及赋范空间19

2.1.1 线性空间19

2.1.2 度量空间22

2.1.3 赋范空间23

2.2 收敛性及空间上的映射29

2.2.1 收敛性29

2.2.2 空间上的映射30

2.2.3 空间中的点集32

2.2.4 基本性质的进一步刻画36

2.2.5 空间的同构37

2.3 完备性与可分性39

2.3.1 空间的完备性39

2.3.2 空间的稠密性与可分性43

2.3.3 Baire纲定理46

2.4 紧性与有限维空间49

2.4.1 紧性49

2.4.2 有限维空间52

2.4.3 Arzela-Ascoli定理55

2.4.4 紧集上的映射与函数56

2.5 空间理论的应用：不动点与最佳逼近57

2.5.1 Banach压缩映射原理及应用57

2.5.2 Schauder不动点定理及应用63

2.5.3 赋范空间中的最佳逼近64

习题二66

第3章 线性算子理论基础68

3.1 有界线性算子与有界线性泛函68

3.1.1 有界性与连续性68

3.1.2 算子空间的完备性70

3.1.3 线性泛函的零空间71

3.1.4 具体的算子的范数73

3.2 Banach空间中的基本定理76

3.2.1 一致有界原理76

3.2.2 开映射定理与闭图像定理77

3.2.3 Hahn-Banach定理82

3.3 Banach空间的共轭性86

3.3.1 共轭空间的表示86

3.3.2 自反空间89

3.3.3 点列的弱收敛性92

3.3.4 弱紧性95

3.3.5 算子列的弱收敛性96

3.4 谱理论初步98

3.4.1 线性算子的谱98

3.4.2 谱集的基本性质102

3.5 算子理论的若干应用实例106

习题三112

第4章 Hilbert空间113

4.1 Hilbert空间113

4.1.1 内积空间113

4.1.2 Hilbert空间114

4.2 投影定理116

4.3 Hilbert空间的正交系121

4.3.1 正交集121

4.3.2 标准正交集的性质122

4.3.3 Gram-Schmidt正交化125

4.3.4 内积空间的强收敛与弱收敛127

4.4 Hilbert空间上的有界线性算子127

4.4.1 Hilbert空间上的有界线性算子与有界线性泛函128

4.4.2 Riesz表示定理129

4.4.3 共轭空间和共轭算子131

4.4.4 有界线性算子的收敛性133

4.4.5 有界自伴算子及性质134

4.4.6 投影算子及其性质135

4.5 Hilbert空间上的紧算子137

4.5.1 线性算子的谱与豫解集137

4.5.2 有界自伴算子的谱139

4.5.3 紧算子的概念与性质139

4.5.4 Fredholm两择一定理144

4.5.5 紧自伴算子的谱分解147

4.6 酉算子与Fourier变换148

4.6.1 酉算子148

4.6.2 L（R）中的Fourier变换149

4.6.3 L2（R）中的Fourier变换152

4.6.4 L（Rn）和L2（Rn）中的Fourier变换154

习题四154

第5章 广义函数与Sobolev空间157

5.1 广义函数的基本概念、基本空间158

5.1.1 引例158

5.1.2 基本空间C∞（Rn），C？（Rn）160

5.1.3 函数的正则化、磨光算子161

5.1.4 基本空间S（Rn）163

5.2 广义函数及其运算164

5.2.1 D′（Rn），S′（Rn）和ε′（Rn）广义函数164

5.2.2 广义函数的支集与极限167

5.2.3 广义函数的导数168

5.2.4 广义函数的卷积170

5.3 广义函数的Fourier变换172

5.3.1 S（Rn）空间上的Fourier变换173

5.3.2 S′（Rn）空间上的Fourier变换176

5.4 Sobolev空间简介180

5.4.1 非负整指数Sobolev空间Hm,p180

5.4.2 负整指数Sobolev空间H-m,p（Ω）183

5.4.3 实指数Sobolev空间184

5.4.4 嵌入定理、迹定理185

习题五186

第6章 小波分析基础190

6.1 Fourier变换190

6.1.1 L1（R）上的Fourier变换190

6.1.2 L2（R）上的Fourier变换191

6.2 信号处理基本概念192

6.3 短时Fourier变换194

6.4 连续小波变换196

6.4.1 小波变换196

6.4.2 小波变换的性质197

6.5 多分辨分析199

6.5.1 多分辨分析199

6.5.2 尺度方程与共轭镜面滤波器202

6.6 小波基203

6.6.1 正交小波基203

6.6.2 常见小波（基）205

6.6.3 选择性小波206

6.7 快速小波算法——Mallat算法208

6.8 双正交小波211

6.8.1 双正交小波基211

6.8.2 快速双正交小波算法212

6.9 二维可分小波213

6.9.1 可分多分辨分析与二维可分正交小波213

6.9.2 快速二维小波变换214

6.10 小波变换的应用214

6.10.1 去噪声214

6.10.2 图像的压缩编码——零树编码方法217

部分习题答案与提示220

参考文献222