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第1章 实数集与函数1

1.1实数1

1.1.1基本问题1

1.1.2要点讲解与注释1

1.1.3补充材料：戴德金分划简介5

1.2数集和确界原理6

1.2.1基本问题6

1.2.2要点讲解与注释7

1.3函数概念9

1.3.1基本问题9

1.3.2 要点讲解与注释10

1.4具有某些特性的函数14

1.4.1基本问题14

1.4.2要点讲解与注释14

1.5第1章测试题与提示21

1.5.1测试题21

1.5.2 提示22

第2章 数列极限23

2.1数列极限概念23

2.1.1基本问题23

2.1.2要点讲解与注释23

2.2收敛数列的性质30

2.2.1基本问题30

2.2.2要点讲解与注释30

2.3数列极限存在的条件35

2.3.1基本问题35

2.3.2 要点讲解与注释36

2.4第2章测试题与提示43

2.4.1测试题43

2.4.2提示44

第3章 函数极限46

3.1函数极限的概念46

3.1.1基本问题46

3.1.2要点讲解与注释47

3.2函数极限的性质52

3.2.1基本问题52

3.2.2要点讲解与注释52

3.3函数极限存在条件55

3.3.1基本问题55

3.3.2要点讲解与注释55

3.4两个重要的极限58

3.4.1基本问题58

3.4.2要点讲解与注释59

3.5无穷小量与无穷大量61

3.5.1基本问题61

3.5.2要点讲解与注释61

3.6第3章测试题与提示65

3.6.1测试题65

3.6.2提示65

第4章 函数的连续性68

4.1连续性概念68

4.1.1基本问题68

4.1.2要点讲解与注释68

4.2连续函数的性质71

4.2.1基本问题71

4.2.2要点讲解与注释71

4.3初等函数的连续性76

4.3.1基本问题76

4.3.2要点讲解与注释76

4.4第4章测试题与提示81

4.4.1测试题81

4.4.2提示82

第5章 导数和微分85

5.1导数的概念85

5.1.1基本问题85

5.1.2要点讲解与注释85

5.2求导法则88

5.2.1基本问题88

5.2.2要点讲解与注释88

5.3参变量函数的导数90

5.3.1基本问题90

5.3.2要点讲解与注释90

5.4高阶导数92

5.4.1基本问题92

5.4.2要点讲解与注释93

5.5微分94

5.5.1基本问题94

5.5.2要点讲解与注释95

5.6第5章测试题与提示96

5.6.1测试题96

5.6.2提示97

第6章 微分中值定理及其应用100

6.1拉格朗日中值定理与函数单调性100

6.1.1基本问题100

6.1.2要点讲解与注释100

6.2柯西中值定理与不定式极限104

6.2.1基本问题104

6.2.2要点讲解与注释104

6.3泰勒公式107

6.3.1基本问题107

6.3.2要点讲解与注释107

6.4函数的极值与最值111

6.4.1基本问题111

6.4.2要点讲解与注释111

6.5函数的凸性与拐点114

6.5.1基本问题114

6.5.2要点讲解与注释115

6.6函数的图像119

6.6.1基本问题119

6.6.2要点讲解与注释119

6.7第6章测试题与提示120

6.7.1测试题120

6.7.2提示121

第7章 实数的完备性125

7.1关于实数集完备性的基本定理125

7.1.1基本问题125

7.1.2要点讲解与注释125

7.2上极限和下极限126

7.2.1基本问题126

7.2.2要点讲解与注释126

第8章 教学与历史回顾129

8.1再识“一元微分学”129

8.2微积分发展简介130

8.2.1引言130

8.2.2牛顿的流数术131

8.2.3莱布尼茨的微积分132

8.2.4发明权之争133

8.2.5柯西与分析学基础134

8.2.6魏尔斯特拉斯的严格化135

8.2.7微积分学若干概念形成简史136

8.2.8微积分学的内容组成、所揭示的矛盾和向现代数学的拓展137

参考文献140