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第一章 集合论基础1

1.1集合的基本概念2

习题1.16

1.2关系6

1.2.1关系的基本概念及其性质6

1.2.2等价关系11

1.2.3偏序关系15

习题1.217

1.3映射18

1.3.1集合的基数19

1.3.2可数集合20

1.3.3不可数集合22

习题1.323

1.4集合在计算机科学中的应用24

1.4.1关系在关系数据库中的应用24

1.4.2关系代数与数据子语言28

1.4.3等价关系在计算机中的应用30

1.4.4序关系在项目管理中的应用30

第二章 计数32

2.1两个基本计数原理33

2.1.1加法原理33

2.1.2乘法原理33

习题2.134

2.2排列与组合34

2.2.1集合的排列数和组合数34

2.2.2多重集的排列数和组合数36

习题2.238

2.3二项式定理38

2.3.1二项式定理38

2.3.2二项式定理的推广40

习题2.342

2.4容斥原理42

2.4.1容斥原理42

2.4.2容斥原理的应用45

习题2.447

2.5鸽巢原理48

2.5.1简单的鸽巢原理48

2.5.2加强的鸽巢原理49

习题2.551

第三章 古典数理逻辑52

3.1命题逻辑53

3.1.1命题与公式53

3.1.2命题公式的等价关系和蕴涵关系56

3.1.3范式61

3.1.4命题逻辑在二值逻辑器件和语句逻辑中的应用65

习题3.168

3.2谓词逻辑69

3.2.1谓词逻辑的基本概念69

3.2.2谓词公式72

3.2.3谓词公式的等价关系和蕴涵关系74

3.2.4范式75

3.2.5谓词逻辑的应用79

习题3.288

第四章 图与网络91

4.1图93

4.1.1图的基本概念93

4.1.2权图Dijkstra算法96

习题4.1100

4.2树100

4.2.1树及其等价命题101

4.2.2最优树Kruskal算法102

4.2.3求最优树的其他算法104

习题4.2107

4.3有向图 欧拉路107

4.3.1有向图与有向树107

4.3.2欧拉路 欧拉图110

4.3.3无向图 无向图中的欧拉路114

习题4.3115

4.4哈密顿图115

4.4.1哈密顿路 哈密顿图的必要条件116

4.4.2哈密顿图的若干充分条件117

习题4.4122

4.5平面图123

4.5.1平面图判定 库拉托夫斯基判定准则123

4.5.2平面图的欧拉公式124

4.5.3平面图的着色127

习题4.5129

4.6匹配 二部图130

习题4.6134

4.7 Konig无限性引理135

习题4.7137

4.8网络优化算法138

4.8.1单源最短路径问题具体算法及实现和比较138

4.8.2最大流问题具体算法及实现和比较140

习题4.8144

第五章 数论基础145

5.1整除性 辗转相除146

5.1.1整除及其性质146

5.1.2辗转相除148

习题5.1151

5.2互质 质因数分解152

5.2.1整数互质152

5.2.2质数与合数 算术基本定理153

习题5.2155

5.3合同 一次同余式156

5.3.1合同及其性质157

5.3.2剩余类 一次同余式158

习题5.3160

5.4秦九韶定理 欧拉函数161

5.4.1一次同余式组秦九韶定理161

5.4.2一元高次同余式的化简162

5.4.3剩余系遍历欧拉函数164

习题5.4167

5.5一元高次同余式 二次剩余168

5.5.1一元高次同余式的解168

5.5.2二次同余式 二次剩余170

习题5.5171

5.6数论在计算机通信安全中的应用172

5.6.1密码系统172

5.6.2恺撒密码173

5.6.3 Vigenere密码173

5.6.4希尔密码174

5.6.5 RSA公钥系统175

习题5.6177

第六章群、环、域178

6.1代数系统179

习题6.1181

6.2群的定义181

6.2.1半群181

6.2.2群182

6.2.3群的性质182

6.2.4置换群184

习题6.2187

6.3子群及其陪集187

6.3.1子群的定义187

6.3.2子群的判别条件188

6.3.3循环群189

6.3.4陪集191

习题6.3193

6.4群的同态及同构193

6.4.1同态映射193

6.4.2同构映射194

6.4.3同态核195

习题6.4197

6.5环197

6.5.1环的定义及性质197

6.5.2环同态200

习题6.5204

6.6域的特征 素域205

6.6.1域的特征205

6.6.2素域206

习题6.6207

6.7多项式208

6.7.1多项式的整除性208

6.7.2多项式的根211

6.7.3有理域上的多项式214

6.7.4分圆多项式216

习题6.7219

6.8有限域220

习题6.8223

6.9群环域在计算机科学中的应用223

6.9.1计数问题223

6.9.2纠错码228

6.9.3多项式编码方法及其实现237

习题6.9240

第七章 格与布尔代数241

7.1引言241

7.2格的定义242

习题7.2245

7.3格的性质246

7.3.1对偶原理246

7.3.2格的其他性质248

7.3.3格的同态与同构249

习题7.3252

7.4几种特殊的格253

7.4.1有界格253

7.4.2有余格254

7.4.3分配格255

7.4.4模格257

习题7.4259

7.5布尔代数260

7.5.1布尔代数的定义及其性质260

7.5.2有限布尔代数的表示理论265

7.5.3布尔代数的同态与同构268

习题7.5271

7.6布尔表达式的化简问题272

习题7.6282

7.7格与布尔代数在计算机科学中的应用283

7.7.1开关电路函数283

7.7.2逻辑门285

7.7.3全加器的逻辑设计285

第八章 语言和有限状态机288

8.1语言和语法288

8.1.1语法结构290

8.1.2语法结构的类型291

8.1.3演绎树292

8.1.4巴克斯-诺尔形式294

习题8.1294

8.2带有输出的有限状态机296

习题8.2300

8.3没有输出的有限状态机301

习题8.3306

8.4语言识别306

8.4.1正则集合306

8.4.2克林定理307

8.4.3其他几种类型的有限状态机313

习题8.4314

8.5图灵机315

习题8.5320

参考文献322