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目录1

第一章　常微分方程1

§1-1　常微分方程的一般概念 建筑力学中常微分方程举例1

一、建筑力学中常微分方程举例1

二、微分方程的定义3

§1-2　一阶微分方程4

一、变量可分离的方程 等强度杆截面的变化规律5

二、一阶线性微分方程 厚壁筒的受力分析7

三、全微分方程13

§1-3　二阶微分方程14

一、二阶常系数线性齐次微分方程 单质点自由振动15

二、二阶常系数线性非齐次微分方程 单质点强迫振动 地震方程及杜哈默积分24

三、非线性二阶微分方程特例 压杆稳定的精确解35

§1-4 高阶微分方程39

一、n阶常系数线性微分方程 弹性地基梁的挠度　框架——剪力墙协同工作分析39

二、欧拉方程 圆孔应力集中42

三、可降阶的微分方程 悬链线44

§1-5　算子法解微分方程 简支工字形梁弯扭屈曲问题的计算45

§1-6　常系数线性微分方程组49

一、齐次方程组 多质点自由振动51

二、非齐次方程组 多质点强迫振动57

§1-7　拉普拉斯变换简介 有阻尼强迫振动的又一解法60

§2-2　三角函数的正交性63

第二章　富里埃级数67

§2-1　引言一弹性地基梁的三角级数解67

一、两个矢量的正交68

三、函数组的正交性69

二、两个函数的正交69

§2-3　富里埃级数与富里埃系数70

一、富里埃系数的确定 间断荷载的展开71

二、狄里赫莱定理简介73

§2-4　偶函数与奇函数的富氏展开 荷载的分解 集中荷载的富氏展开74

§2-5　以2l为周期的函数展开79

§2-6　在区间（-？，l）内函数的开拓82

§2-7　富里埃级数在梁挠曲中的应用85

§2-8　富里埃积分及其在弹性地基梁中的应用　地震富里埃谱89

§2-9　富里埃级数与富里埃积分的复数形式　富氏变换定义简介94

§2-10　二重富里埃级数 均布荷载的展开98

一、拉紧弦的横向振动102

第三章　偏微分方程102

§3-1 偏微分方程的建立和定解问题的提法102

二、薄膜振动104

三、杆的纵向振动　纵向地震波106

四、梁的剪切振动　横向地震波107

五、梁的横向振动108

六、一维热传导方程109

七、弹性力学平面问题的基本方程110

八、三维弹性体的基本方程113

九、弹性薄板弯曲方程115

十、闭合圆柱形壳体弯曲的一般方程118

一、分离变量法的提出119

§3-2　分离变量法解偏微分方程119

二、分离变量法解一维波动方程120

三、分离变量法解薄膜平衡方程124

四、分离变量法解梁的剪切振动方程126

五、分离变量法解梁的弯曲振动方程127

六、分离变量法解弹性力学平面问题129

七、分离变量法解弦的强迫振动方程131

八、分离变量法解简支矩形板的挠曲方程133

九、分离变量法解极坐标形式的拉普拉斯方程134

十、分离变量法解极坐标形式的二维波动方程137

§3-3　特殊函数　分离变量法的继续137

一、贝塞尔函数137

二、圆膜振动的完整解 变截面杆件剪切振动的固有圆频率145

三、勒让德微分方程及勒让德多项式149

四、球体振动153

§3-4　一维波动方程的行波法与富氏变换法简介155

一、行波法解一维波动方程　地震波155

二、富氏变换法解一维波动方程　弹性力学平面问题的富氏变换157

三、拉普拉斯方程解的泊松公式160

第四章　变分法162

§4-1 从实例分析看力学中的两套方法162

一、求简支梁反力162

二、求静定桁架变位163

三、求梁的挠度163

四、解简单超静定桁架165

六、压杆稳定求临界荷载167

五、单自由度自由振动频率的确定167

七、方板的极限平衡169

§4-2　变分法的基本概念170

一、泛函及其简单的力学模型170

二、泛函的极值171

§4-3 最简单泛函的欧拉方程与变分记号173

一、泛函极值的必要条件173

二、欧拉方程的初步应用175

三、变分记号177

§4-4　不同型式泛函极值的必要条件180

一、依赖于多个函数的泛函180

二、依赖于高阶导数的泛函180

§4-5　变分原理在力学中的应用181

一、哈密顿原理181

三、依赖于多个自变量的泛函181

四、依赖于多个自变量，且含有高阶偏导数的泛函181

二、利用哈密顿原理推导振动方程183

三、利用最小位能原理推导平衡方程184

四、力学中几个原理的简要说明189

§4-6 变分法中的直接法190

一、里兹法　矩形截面杆的扭转 振动的固有频率191

二、迦辽金法　四边简支球形扁壳计算198

三、最小二乘法 四边固定矩形板的弯曲202

四、定点法 四边固定矩形板的自振频率204

§5-1　差分法的基本原理208

第五章　差分法208

§5-2　差分法解一维问题　应用举例210

§5-3　差分法解弹性力学平面问题215

一、应力分量及双调和方程的差分表达式216

二、边界条件的处理217

三、例题219

§5-4　差分法计算球形扁壳222

§5-5　采德尔迭代法225

第六章　复变函数229

§6-1　复数的基本性质　复阻尼振动概念229

一、复数的几种表示方法229

二、复数运算与共轭复数231

三、复阻尼振动概念234

§6-2　解析函数235

一、复变函数235

二、解析函数237

§6-3　解析函数在线弹性断裂力学中的应用239

一、Ⅲ型裂纹扩展方式的研究240

二、Ⅰ型裂纹扩展方式的研究241

§6-4　初等函数的解析性246

一、指数函数的解析性246

二、三角函数的解析性247

三、对数函数的解析性247

§6-5　保角变换及其在断裂力学中的应用248

一、复变函数的几何表示248

四、幂函数的解析性248

二、导数的几何意义249

三、保角变换的基本问题及其在线弹性断裂力学中的应用举例251

四、分式线性变换253

五、初等函数的变换254

§6-6　复变函数的积分　柯西定理和柯西积分公式256

一、复变函数积分的定义与计算256

二、柯西定理258

三、柯西积分公式及其在椭圆孔应力集中问题中的应用260

§6-7　台劳级数与罗朗级数263

一、台劳级数264

二、罗朗级数266

一、孤立奇点268

§6-8　留数及其在唇形裂纹问题中的应用268

二、留数269

三、留数在唇形裂纹问题中的应用271

§6-9　复变函数在线弹性断裂力学中的应用272

一、复应力函数的一般表达式272

二、无限大板单向均匀受拉裂纹附近应力场的求解274

第七章　向量分析280

§7-1 向量代数　点积与叉积的力学模型280

一、基本定义280

二、向量合成与力系合成的关系281

三、向量乘积及其力学模型281

§7-2　向量微分　平面曲线运动的研究284

一、向量的导数284

二、向量的偏导数285

三、向量的微分286

四、例题286

五、平面曲线运动的研究288

§7-3　正交曲线坐标　三维弹性力学平衡方程的正交曲线坐标表达式290

一、曲线坐标的概念290

二、正交曲线坐标系中微分六面体的几何元素292

三、三维弹性力学平衡方程的正交曲线坐标表达式294

§7-4 曲面曲线坐标系 壳体无矩理论的平衡方程297

一、混合型曲线坐标297

二、壳体无矩理论平衡方程的一般表达式299

三、旋转面壳体的平衡方程 锥壳在静水压力作用下内力的解答300

四、任意柱面壳体的平衡方程 圆筒壳在液体内压力作用下内力的解答302

第八章　矩阵代数305

§8-1 行列式与线性方程组简介305

一、三元线性方程组305

二、n元线性方程组307

三、行列式的性质309

§8-2　矩阵代数的基本知识　单元刚度方程的矩阵表达式312

一、矩阵表达式的引入312

二、有关矩阵的基本概念313

三、矩阵的运算317

四、单元刚度方程的矩阵表达式320

一、结构分析中的线性变换322

二、线性变换的矩阵表示322

§8-3　线性变换　有限元法中线性变换的应用322

三、线性变换在有限元法中的应用举例323

§8-4　用逆矩阵（矩阵除法）解线性方程组　逆矩阵在荷载组合中的作用325

一、逆矩阵的概念325

二、利用行列式求逆矩阵326

三、用逆矩阵解线性方程组328

四、逆矩阵在荷载组合中的作用331

§8-5　矩阵的分块及其运算331

一、分块乘法332

二、分块法求逆矩阵333

§8-6 线性方程组的其它解法335

一、最易求解的方程组335

二、高斯消去法336

三、主元素消去法337

四、高斯—焦丹消去法求逆矩阵339

§8-7　矩阵代数在杆系结构力学中的应用举例　用直接刚度法解平面桁架340

一、刚度法与直接刚度法的力学说明340

二、单元分析与单元刚度矩阵341

三、结构分析与整体刚度矩阵345

四、求结构的反力与内力348

§8-8 线性方程组解的性质研究及其在力学问题中的反映349

一、非齐次线性方程组解的性质研究 结构力学中解答唯一性问题的讨论349

二、齐次线性方程组解的性质研究 特征值与特征向量353

附录一　嘎马函数表359

附录二 贝塞尔函数表359

习题答案363