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Ⅰ 基础14

1.数学基础14

1.1 集合论基础14

1.2 函数和极限18

1.3 测度和质量分布23

1.4 有关概率论的注记31

1.5 注记和参考文献39

练习40

2.豪斯道夫测度和维数42

2.1 豪斯道夫测度42

2.2 豪斯道夫维数46

2.3 豪斯道夫维数的计算——简单的例子49

2.4 豪斯道夫维数的等价定义52

2.5 维数的更精细定义53

2.6 注记和参考文献54

练习54

3.维数的其它定义58

3.1 计盒维数58

3.2 计盒维数的性质与问题66

3.3 修改的计盒维数68

3.4 填充(Packing)测度与维数70

3.5 维数的一些其它定义73

3.6 注记和参考文献77

练习78

4.计算维数的技巧80

4.1 基本方法80

4.2 有限测度子集91

4.3 位势理论方法94

4.4 付立叶(Fourier)变换法97

4.5 注记和参考文献98

练习98

5.分形的局部结构101

5.1 密度101

5.2 I-集的结构106

5.3 S-集的切线111

5.4 注记和参考文献116

练习116

6.分形的射影119

6.1 任意集的射影119

6.2 整数维S-集的射影122

6.3 任意整数维集的射影124

6.4 注记和参考文献127

练习127

7.分形的乘积129

7.1 乘积公式129

7.2 注记和参考文献138

练习139

8.分形的交141

8.1 分形的交集公式141

8.2 大交集145

8.3 注记和参考文献152

练习152

Ⅱ 应用与例子154

9.用变换定义的分形——自相似集和自仿射集154

9.1 迭代函数图154

9.2 自相似集的维数160

9.3 一些变化168

9.4 自仿射集173

9.5 对编码图象的应用180

9.6 注记和参考文献185

练习186

10.数论中的例子188

10.1 数中的数字的分布188

10.2 连分数190

10.3 丢番图逼近192

10.4 注记和参考文献196

练习197

11.函数的图象199

11.1 图的维数199

11.2 分形函数的自相关210

11.3 注记和参考文献214

练习214

12.纯数学中的例子217

12.1 对偶和 Kakeya 问题217

12.2 Vitushkin 猜想221

12.3 凸曲而223

12.4 分数维的群和环225

12.5 注记和参考文献227

练习228

13.动力系统231

13.1 斥子和迭代函数图231

13.2 逻辑斯谛(Iogistic)映射234

13.3 拉伸与折叠变换238

13.4 螺线管(The Solenoid)245

13.5 连续动力系统248

13.6 小因子理论253

13.7 李雅普诺夫指数和熵257

13.8 注记和参考文献262

练习263

14.复变函数的迭代——Julia 集266

14.1 Julia 集的一般理论266

14.2 二次函数——Mandelbrot 集275

14.3 二次函数的 Julia 集281

14.4 拟圆的维数特征291

14.5 解多项式方程的牛顿法294

14.6 注记和参考文献298

练习299

15.随机分形303

15.1 随机康托集303

15.2 分形渗流310

15.3 注记和参考文献315

练习316

16.布朗运动和布朗曲面318

16.1 布朗运动318

16.2 分数布朗运动329

16.3 平稳过程333

16.4 布朗曲面335

16.5 注记和参考文献338

练习338

17.多重分形测度341

17.1 多重分形的一种形式体系341

17.2 注记和参考文献353

练习353

18.物理应用358

18.1 分形的生长358

18.2 静电势和引力势的奇异性364

18.3 流体力学和湍流366

18.4 注记和参考文献369

练习370

参考文献372

索引387