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第一章　预备知识1

1.1 欧氏空间的基本概念1

1.1.1 n维欧氏空间1

1.1.2 邻域 开集 闭集2

1.1.3 连续性 同胚3

1.1.4 连通集4

1.1.5 紧致性4

1.2 向量函数4

1.2.1 向量函数的极限5

1.2.2 向量函数的连续性6

1.2.3 向量函数的微导，Taylor公式6

1.2.4 向量函数的积分8

1.2.5 向量函数的几个常用性质8

1.3 一次形式10

1.3.1 一次形式的定义10

1.3.2 一次形式组成的空间11

1.4 Grassmann积11

1.4.1 Grassmann积的定义及其简单性质11

1.4.2　Cartan引理13

1.5 p-形式及外代数17

1.5.1 V2-空间17

1.5.2 p-形式及空间Vp18

1.5.3 外代数（Grassmann代数）20

1.6 外微分d20

习题27

第二章 曲线论30

2.1 曲线的一般概念30

2.1.1 曲线的概念30

2.1.2 曲线的弧长 自然参数31

2.2 空间曲线的活动标架（基本三棱形）33

2.3 空间曲线的基本公式35

2.4 曲率和挠率37

2.4.1 曲率和挠率的计算37

2.4.2 曲率和挠率的几何意义38

2.5 曲线论的基本定理39

2.6 几种特殊曲线41

2.6.1 平面曲线41

2.6.2 球面曲线42

2.6.3 曲线在一点的密切圆44

2.6.4 空间曲线的球面像44

2.7 曲线的一些整体性质45

2.7.1 曲线的有关概念45

2.7.2 平面曲线的几个整体性质46

2.7.3 空间曲线的某些整体性质49

习题53

第三章 曲面的局部性质56

3.1 曲面的概念56

3.1.1 曲面的表示56

3.1.2 切平面与法向量58

3.2 曲面的第一基本形式59

3.2.1 曲面上的光滑函数59

3.2.2　第一基本形式60

3.2.3 等距对应65

3.2.4 共形对应67

3.3 曲面的第二基本形式69

3.4 曲面上的曲率74

3.4.1 法曲率74

3.4.2 主曲率 主方向76

3.4.3　Gauss曲率 平均曲率80

3.5 曲面上的一些重要曲线82

3.5.1 曲率线82

3.5.2 渐近曲线85

3.5.3 测地线86

3.5.4 三种重要曲线的等价命题88

3.5.5 三种重要曲线之间的关系89

3.6 特殊曲面90

3.6.1 极小曲面90

3.6.2 常曲率曲面91

3.6.3 可展曲面93

3.6.4 单参数平面族的包络面96

3.7 曲面论的基本定理98

3.7.1 曲面的基本公式98

3.7.2 曲面的基本方程102

3.7.3 曲面论的基本定理110

习题113

第四章 联络117

4.1 曲面上的向量场117

4.1.1 曲面上的光滑函数117

4.1.2 曲面S在点p ∈S的切向量Xp118

4.1.3 曲面S上的切向量场121

4.2 曲面上的联络122

4.3 联络的曲率张量125

4.4 测地线127

习题130

第五章 曲面的一些整体性质131

5.1 整体曲面131

5.2　球面的刚性135

5.3 Gauss-Bonnet公式138

5.3.1　局部的Gauss-Bonnet公式138

5.3.2　整体的Gauss-Bonnet公式140

5.4 凸曲面与积分公式144

5.4.1 凸曲面144

5.4.2　积分公式145

5.5 全平均曲率与Willmove猜想147

5.5.1　全平均曲率147

5.5.2 环面的全平均曲率148

习题150

第六章 微分流形初步152

6.1 微分流形的定义152

6.2 流形在一点的切空间156

6.3 Riemann空间158

6.4 流形上的切向量场160

6.4.1　基本概念160

6.4.2　Poisson括号积164

6.4.3 光滑切向量场的积分曲线166

6.5 仿射联络168

6.5.1 仿射联络的定义及局部表示168

6.5.2 仿射联络的存在性定理170

6.5.3 仿射联络的挠率和曲率170

习题172

主要参考文献175