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0引文1

0.1感受微积分1

0.2给学习者的建议5

1函数与极限6

1.1函数6

1.1.1函数的概念6

1.1.2函数的表示法7

1.1.3函数的基本性质8

1.1.4基本初等函数9

1.1.5复合函数13

1.1.6初等函数14

习题1.115

1.2函数的极限16

1.2.1数列的极限17

1.2.2函数的极限18

习题1.223

1.3无穷小与无穷大 极限运算法则24

1.3.1无穷小与无穷大24

1.3.2极限运算法则26

习题1.328

1.4两个重要极限 无穷小的比较29

1.4.1两个重要极限29

1.4.2无穷小的比较33

习题1.434

1.5函数的连续性35

1.5.1连续函数35

1.5.2函数的间断点37

1.5.3初等函数的连续性38

1.5.4闭区间上连续函数的性质39

习题1.541

复习题一42

自测题一46

2导数与微分50

2.1导数50

2.1.1三个实例50

2.1.2导数的定义52

2.1.3导数的几何意义55

2.1.4函数的可导与连续之间的关系57

习题2.158

2.2导数公式与函数和、差、积、商的求导法则59

2.2.1导数基本公式59

2.2.2函数和、差、积、商的求导法则59

习题2.262

2.3复合函数和反函数的导数62

习题2.366

2.4隐函数和由参数方程所确定的函数的导数67

2.4.1隐函数的导数67

2.4.2由参数方程确立的函数的导数69

习题2.471

2.5自然科学和社会科学中的变化率 高阶导数71

2.5.1在化学中的应用71

2.5.2在经济学中的应用72

2.5.3高阶导数73

习题2.575

2.6函数的微分76

习题2.682

复习题二83

自测题二86

3导数的应用90

3.1微分中值定理与洛必达法则90

3.1.1微分中值定理90

3.1.2洛必达法则94

习题3.198

3.2函数的单调性与极值98

3.2.1函数的单调性98

3.2.2函数的极值101

习题3.2104

3.3函数的最值与应用105

3.3.1函数在闭区间上的最大值与最小值105

3.3.2最值的应用（优化问题）106

习题3.3108

3.4函数的凹凸性、拐点及函数图形的描绘109

3.4.1曲线的凹凸性与拐点109

3.4.2函数图形的描绘111

习题3.4113

3.5曲率113

3.5.1弧微分114

3.5.2曲率115

习题3.5118

复习题三118

自测题三122

4不定积分128

4.1不定积分与基本积分公式128

4.1.1原函数与不定积分的概念128

4.1.2基本积分公式130

4.1.3不定积分的性质131

习题4.1133

4.2积分的方法133

4.2.1第一类换元积分法（凑微分法）134

4.2.2第二类换元积分法137

4.2.3分部积分法140

4.2.4积分表的使用142

习题4.2144

4.3常微分方程145

4.3.1微分方程的概念145

4.3.2可分离变量的微分方程146

习题4.3150

4.4一阶线性微分方程及应用150

4.4.1一阶线性微分方程150

4.4.2一阶微分方程的简单应用154

习题4.4157

复习题四157

自测题四161

5定积分及其应用163

5.1定积分的概念163

5.1.1引例163

5.1.2定积分的定义165

5.1.3定积分的几何意义166

5.1.4定积分的性质167

习题5.1170

5.2微积分基本公式171

5.2.1积分可变上限函数172

5.2.2微积分基本公式——牛顿-莱布尼兹公式173

习题5.2175

5.3定积分的积分法176

5.3.1定积分的换元积分法176

5.3.2定积分的分部积分法178

习题5.3180

5.4广义积分180

5.4.1无穷区间上的广义积分180

5.4.2无界函数的广义积分183

习题5.4185

5.5定积分在几何上的应用185

5.5.1微元法185

5.5.2平面图形的面积186

5.5.3旋转体的体积189

习题5.5192

5.6定积分在物理上的应用193

5.6.1变力做功193

5.6.2液体的压力194

习题5.6196

复习题五196

自测题五200

6多元函数微积分206

6.1多元函数的概念、二元函数的极限和连续性207

6.1.1多元函数的概念207

6.1.2二元函数的极限209

6.1.3二元函数的连续性210

习题6.1211

6.2偏导数212

6.2.1偏导数的概念212

6.2.2高阶偏导数215

6.2.3多元复合函数与隐函数的求导法则216

习题6.2220

6.3全微分及其应用221

6.3.1全微分的概念221

6.3.2全微分在近似计算中的应用223

习题6.3224

6.4二元函数的极值与最值224

6.4.1二元函数的极值224

6.4.2二元函数的最值226

6.4.3条件极值227

6.4.4最小二乘法229

习题6.4230

6.5二重积分的概念与性质231

6.5.1两个相似问题231

6.5.2二重积分的概念232

6.5.3二重积分的性质233

习题6.5234

6.6二重积分的计算235

6.6.1二重积分在直角坐标系中的计算235

6.6.2二重积分在极坐标中的计算239

习题6.6241

6.7二重积分的应用241

6.7.1二重积分在几何上的应用——体积242

6.7.2二重积分在物理上的应用243

习题6.7245

复习题六246

自测题六249

7无穷级数252

7.1数项级数253

7.1.1数项级数的基本概念253

7.1.2级数收敛的必要条件256

7.1.3级数的基本性质256

7.1.4级数的积分判别法与应用258

习题7.1262

7.2数项级数敛散性判别法263

7.2.1正项级数及其敛散性判别法263

7.2.2交错级数及其敛散性判别法268

7.2.3任意项级数敛散性判别法269

习题7.2271

7.3幂级数272

7.3.1幂级数及其收敛域272

7.3.2幂级数在收敛区间内的性质277

习题7.3280

7.4函数展开成幂级数281

7.4.1泰勒（Taylor）公式与麦克劳林（Machaurin）公式281

7.4.2泰勒级数与麦克劳林级数282

7.4.3函数展开成幂级数283

7.4.4函数幂级数展开式的应用287

习题7.4289

复习题七290

自测题七294

附录Ⅰ初等数学中的常用公式297

附录Ⅱ积分表301

参考答案308

参考文献325