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第1章 命题逻辑1

1.1 命题1

1.2 逻辑联结词3

1.2.1 基本联结词3

1.2.2 其他联结词6

1.3 命题公式与真值表7

1.3.1 命题公式7

1.3.2 真值表8

1.4 命题翻译9

1.4.1 合取命题9

1.4.2 可兼与不可兼析取命题10

1.4.3 条件命题10

1.4.4 多联结词命题11

1.5 命题公式的值与等价14

1.5.1 命题公式的分类14

1.5.2 命题公式的等价14

1.5.3 联结词的功能完备集17

1.5.4 由德·摩根律到对偶原理17

1.6 范式19

1.6.1 简单的范式19

1.6.2 小项与大项20

1.6.3 主析取范式与主合取范式21

1.7 推理理论24

1.7.1 蕴含与论证24

1.7.2 自然推理系统26

第2章 谓词逻辑34

2.1 谓词、个体词与量词34

2.1.1 个体词与谓词34

2.1.2 量词与量化36

2.2 谓词逻辑中的命题翻译38

2.2.1 特殊化个体词的命题38

2.2.2 量词量化的命题38

2.3 量词约束与谓词公式的解释42

2.3.1 量词对个体词变元的作用42

2.3.2 谓词公式的解释与求值43

2.3.3 量词与联结词的搭配44

2.4 谓词逻辑中的基本等价和蕴含关系45

2.4.1 基本等价与蕴含关系46

2.4.2 利用等价关系计算前束范式49

2.5 谓词演算的推理理论50

第3章 集合论基础57

3.1 集合的概念与表示方法57

3.1.1 集合描述57

3.1.2 集合的包含与相等58

3.1.3 空集与全集59

3.1.4 集合的幂集61

3.2 集合运算63

3.2.1 基本运算63

3.2.2 多集合的交与并65

3.3 集合运算的性质与证明方法68

3.3.1 集合运算的性质与演算证明68

3.3.2 基于定义的集合运算证明方法69

3.4 序偶与笛卡儿积72

3.4.1 序偶与元组73

3.4.2 笛卡儿积73

第4章 关系77

4.1 二元关系的含义与表示77

4.1.1 二元关系77

4.1.2 关系的矩阵和图表示法79

4.2 关系运算80

4.2.1 关系求逆与复合81

4.2.2 关系运算的性质82

4.2.3 利用关系图与关系矩阵实现关系运算84

4.2.4 多关系的复合86

4.3 关系的性质88

4.3.1 自反与反自反关系88

4.3.2 对称与反对称关系89

4.3.3 传递关系91

4.3.4 特殊关系的判定91

4.4 关系的闭包94

4.4.1 闭包的概念94

4.4.2 闭包计算95

4.5 相容关系与等价关系99

4.5.1 集合的覆盖与划分99

4.5.2 相容与等价100

4.5.3 相容关系产生的完全覆盖101

4.5.4 等价关系产生的划分102

4.5.5 由覆盖、划分生成相容关系和等价关系103

4.6 序关系106

4.6.1 体现部分次序的偏序关系106

4.6.2 哈斯图106

4.6.3 链与全序关系108

4.6.4 偏序集的特殊元素109

第5章 函数112

5.1 从关系到函数112

5.1.1 函数的概念112

5.1.2 函数集113

5.1.3 特殊函数114

5.2 函数的逆与复合117

5.2.1 双射的反函数117

5.2.2 函数的复合117

5.2.3 函数运算的性质119

5.3 集合的基数120

5.3.1 集合等势121

5.3.2 有限集与无限集122

5.3.3 可数集与不可数集122

5.3.4 基数比较124

第6章 运算与代数系统126

6.1 运算及其性质126

6.1.1 n元运算126

6.1.2 二元运算的主要性质127

6.2 二元运算中的特殊元素129

6.2.1 幺元129

6.2.2 零元130

6.2.3 逆元131

6.3 代数系统132

6.3.1 代数与子代数132

6.3.2 同态与同构133

6.4 半群与独异点135

6.5 群与子群137

6.5.1 群的概念137

6.5.2 群的性质139

6.5.3 子群139

6.6 循环群与置换群142

6.6.1 循环群142

6.6.2 置换群143

6.7 群的陪集分解146

6.7.1 陪集146

6.7.2 拉格朗日定理147

第7章 环、域、格和布尔代数149

7.1 环和域149

7.1.1 环149

7.1.2 域150

7.2 格152

7.2.1 格与其诱导的代数系统152

7.2.2 子格154

7.2.3 特殊格154

7.3 布尔代数158

7.3.1 布尔格诱导的布尔代数158

7.3.2 典型的布尔代数159

第8章 图162

8.1 图的基本概念162

8.1.1 图的认知162

8.1.2 结点的度与握手定理163

8.1.3 完全图与正则图165

8.1.4 子图、补图与图同构166

8.2 图的连通性168

8.2.1 路与回路168

8.2.2 无向图的连通性169

8.2.3 有向图的连通性170

8.3 图的矩阵表示171

8.3.1 邻接矩阵171

8.3.2 关联矩阵172

8.4 二部图、欧拉图与汉密尔顿图174

8.4.1 二部图174

8.4.2 欧拉图176

8.4.3 汉密尔顿图178

8.5 平面图180

8.5.1 平面图与欧拉定理180

8.5.2 平面图的对偶图182

8.5.3 平面图的着色183

8.6 树185

8.6.1 无向树185

8.6.2 生成树186

8.6.3 根树188

附录 符号索引193

参考文献195