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第1章 集合论基础1

1.1 集合及其运算1

1.1.1 集合的概念1

1.1.2 集合的表示2

1.1.3 集合的运算3

习题1.110

1.2 集合的基数11

1.2.1 对等性12

1.2.2 基数的概念13

1.2.3 基数的比较13

习题1.215

1.3 可数集合16

习题1.320

1.4 基数为c的集合20

习题1.425

总练习题126

第2章 Rn中的点集理论27

2.1 基本概念27

2.1.1 n维欧氏空间Rn27

2.1.2 点列的收敛性28

2.1.3 点集的几种特殊点29

2.1.4 基本结论30

习题2.131

2.2 开集、闭集与完备集32

2.2.1 开集与闭集32

2.2.2 Gδ型集、Fσ型集与博雷尔集34

2.2.3 自密集与完备集35

习题2.237

2.3 闭集套原理与覆盖定理38

习题2.340

2.4 开集的构造40

习题2.442

2.5 点集上的连续函数42

习题2.546

2.6 点集间的距离46

习题2.648

总练习题249

第3章 测度理论50

3.1 外测度的定义与性质50

3.1.1 外测度的定义50

3.1.2 外测度的性质53

习题3.156

3.2 可测集的定义及性质56

3.2.1 可测集的定义56

3.2.2 可测集的运算性质57

习题3.262

3.3 可测集类63

习题3.367

3.4 可测集的构造67

习题3.473

总练习题374

第4章 可测函数76

4.1 可测函数的概念与运算76

4.1.1 简单函数76

4.1.2 可测函数的概念与运算性质78

习题4.179

4.2 可测函数的刻画与性质80

4.2.1 预备定理80

4.2.2 非负可测函数的刻画80

4.2.3 一般可测函数的刻画83

4.2.4 可测函数的性质85

习题4.287

4.3 叶果洛夫定理88

4.3.1 几乎处处的概念88

4.3.2 叶果洛夫定理89

习题4.393

4.4 依测度收敛性93

习题4.498

4.5 鲁金定理99

习题4.5104

总练习题4105

第5章 勒贝格积分106

5.1 非负可测函数的积分106

5.1.1 定义与例子106

5.1.2 基本性质109

习题5.1116

5.2 一般可测函数的积分116

习题5.2122

5.3 例子123

习题5.3129

5.4 勒贝格控制收敛定理130

习题5.4136

5.5 R-积分与L-积分的关系137

习题5.5146

5.6 富比尼定理147

习题5.6150

5.7 有界变差函数151

习题5.7156

5.8 绝对连续函数157

习题5.8163

总练习题5164

第6章 空间理论166

6.1 距离空间166

6.1.1 定义与例子166

6.1.2 完备距离空间168

6.1.3 开集与闭集171

6.1.4 可分距离空间173

6.1.5 连续映射173

6.1.6 列紧空间176

6.1.7 压缩映射原理179

习题6.1183

6.2 赋范线性空间185

6.2.1 定义与例子185

6.2.2 有限维赋范线性空间190

习题6.2193

6.3 内积空间196

6.3.1 内积空间的概念与基本性质196

6.3.2 正交分解200

6.3.3 正规正交系202

习题6.3208

6.4 拓扑空间简介209

6.4.1 拓扑空间209

6.4.2 连续映射与同胚212

习题6.4212

总练习题6213

第7章 巴拿赫空间上的有界线性算子理论216

7.1 有界线性算子217

7.1.1 定义、例子与基本性质217

7.1.2 有界线性算子的范数221

7.1.3 算子空间与巴拿赫代数225

习题7.1228

7.2 哈恩-巴拿赫延拓定理230

7.2.1 线性泛函的延拓230

7.2.2 有界线性泛函的存在性235

习题7.2236

7.3 有界线性泛函的表示237

7.3.1 n维空间Kn上的有界线性泛函237

7.3.2 lp（K）上的有界线性泛函（1＜p＜∞）238

7.3.3 Lp［a，b］上的有界线性泛函（1＜p＜∞）240

7.3.4 C［a，b］上的有界线性泛函244

7.3.5 希尔伯特空间上有界线性泛函的表示244

习题7.3245

7.4 共轭空间与共轭算子246

7.4.1 共轭空间246

7.4.2 共轭算子250

习题7.4253

7.5 逆算子定理与开映射定理255

7.5.1 逆算子的概念与基本性质255

7.5.2 逆算子的有界性256

习题7.5261

7.6 闭图像定理与一致有界原理262

7.6.1 闭算子与闭图像定理262

7.6.2 一致有界原理及其应用264

习题7.6266

7.7 强弱收敛与弱＊收敛267

7.7.1 点列的弱收敛267

7.7.2 算子列的强、弱收敛269

7.7.3 泛函列的强、弱收敛与弱＊收敛272

习题7.7272

7.8 紧算子273

7.8.1 定义与例子273

7.8.2 紧算子的性质275

习题7.8277

总练习题7279

第8章 非线性算子281

8.1 连续性与有界性281

8.1.1 定义与例子281

8.1.2 连续算子的性质282

8.1.3 一类复合算子的连续性与有界性283

习题8.1286

8.2 紧性与全连续性287

8.2.1 定义与基本性质287

8.2.2 完全连续算子的结构289

习题8.2292

8.3 抽象函数的导数293

8.3.1 实变抽象函数的导数293

8.3.2 复变抽象函数的导数296

习题8.3298

8.4 抽象函数的积分299

8.4.1 定义与例子299

8.4.2 可积条件300

8.4.3 运算性质303

习题8.4305

8.5 费雷歇导算子305

8.5.1 定义与性质305

8.5.2 中值定理与导算子的完全连续性313

8.5.3 高阶导算子与泰勒公式315

习题8.5318

8.6 加特导算子320

8.6.1 定义与性质320

8.6.2 两种微分之间的关系321

习题8.6326

8.7 偏导算子与隐算子定理326

8.7.1 偏导算子327

8.7.2 隐算子存在定理329

8.7.3 反算子存在定理334

习题8.7335

总练习题8336

参考文献338

附录339

1．偏序集与佐恩引理339

2．泛函延拓定理的证明342

3．算子谱论简介343

4．希尔伯特空间上的有界线性算子简介346

5．中外文人名对照表348