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第一章 群论基础1

1.1集合论预备知识1

1.1.1集合的定义1

1.1.2集合的基本运算2

1.1.3一些常用的集合记号4

1.1.4映射，合成律和结合律5

1.1.5等价关系，等价类与分拆6

1.1.6映射分解和交换图表8

习题8

1.2群的基本概念和例子9

1.2.1群的定义和例子9

1.2.2子群和群的直积14

1.2.3 GLn的子群：典型群15

1.2.4群的同态与同构18

习题20

1.3子群与陪集分解22

1.3.1元素的阶与循环群22

1.3.2陪集和陪集分解24

习题30

1.4正规子群与商群32

习题38

第二章 群在集合上的作用40

2.1对称群40

2.1.1置换及其表示40

2.1.2奇置换与偶置换43

2.1.3交错群44

习题47

2.2群在集合上的作用48

2.2.1轨道与稳定子群48

2.2.2 G在集合X上的作用与G到群Sx的群同态的关系51

习题52

2.3群在自身上的作用53

2.3.1左乘作用53

2.3.2共轭作用54

2.3.3 G在子群H上的共轭作用55

习题56

2.4西罗定理及其应用57

2.4.1西罗定理57

2.4.2西罗定理的应用60

习题61

2.5自由群与群的表现62

2.5.1自由群62

2.5.2群的表现65

习题67

2.6有限生成阿贝尔群的结构68

2.6.1有限生成自由阿贝尔群68

2.6.2有限生成阿贝尔群的结构定理69

习题74

第三章 环和域75

3.1环和域的定义75

3.1.1环的概念的引入75

3.1.2定义和例子76

习题80

3.2环的同态与同构82

3.2.1定义与简单例子82

3.2.2环同态的核与理想84

3.2.3环同态的更多典型例子85

习题87

3.3环的同态基本定理88

3.3.1理想与商环88

3.3.2环同态基本定理89

3.3.3同态基本定理的应用90

3.3.4中国剩余定理91

习题93

3.4整环与域95

3.4.1素理想与极大理想95

3.4.2整环的局部化97

习题99

第四章 因子分解101

4.1唯一因子分解环101

4.1.1因子，素元与不可约元101

4.1.2唯一因子分解环102

4.1.3欧几里得环105

习题107

4.2高斯整数与二平方和问题108

习题110

4.3多项式环与高斯引理110

4.3.1环上的多项式环110

4.3.2高斯引理113

习题117

第五章 域扩张理论120

5.1域扩张基本理论120

5.1.1常见的域的例子120

5.1.2代数扩张与超越扩张120

5.1.3代数扩张的性质122

5.1.4同态与同构的一些性质124

5.1.5代数闭包与代数封闭域125

习题126

5.2尺规作图问题128

习题131

5.3代数基本定理131

习题132

5.4有限域的理论133

习题136

第六章 伽罗瓦理论138

6.1伽罗瓦理论的主要定理138

6.1.1伽罗瓦群的定义和例子138

6.1.2可分多项式与可分扩张140

6.1.3正规扩张141

6.1.4伽罗瓦理论基本定理142

习题143

6.2 方程的伽罗瓦群144

6.2.1三次方程的分裂域144

6.2.2一般情况145

6.2.3对称多项式147

习题149

6.3伽罗瓦扩张的一些例子150

6.3.1分圆扩张150

6.3.2库默尔扩张152

6.3.3有限域的扩张152

习题152

6.4方程的根式可解性153

习题157

6.5主要定理的证明158

习题162

参考文献163

索引164