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第1章 数学分析基础1

上册1

1.1 实数集与不等式3

1.1.1 问题提出3

1.1.2 概念入门4

1.1.3 主要性质及结论5

1.1.4 例题选讲7

1.2 函数13

1.2.1 问题提出13

1.2.2 概念入门13

1.2.3 例题选讲18

1.3.1 问题提出27

1.3 数列极限27

1.3.2 概念入门28

1.3.3 主要性质及结论30

1.3.4 例题选讲36

1.4 函数极限55

1.4.1 问题提出55

1.4.2 概念入门55

1.4.3 主要性质及结论59

1.4.4 例题选讲65

1.5 极限基础84

1.5.1 问题提出84

1.5.2 概念入门85

1.5.3 主要性质及结论89

1.5.4 例题选讲97

1.6 连续函数109

1.6.1 问题提出109

1.6.2 概念入门109

1.6.3 主要性质及结论111

1.6.4 例题选讲117

1.7 数学分析基础相关背景介绍132

1.7.1 函数概念产生的背景及其发展132

1.7.2 极限思想产生的背景及其发展133

1.7.3 实数完备性理论产生的历史背景136

1.7.4 连续函数概念产生的背景简介138

第2章 一元函数微分学139

2.1 导数与微分140

2.1.1 问题提出140

2.1.2 概念入门140

2.1.3 主要性质及结论144

2.1.4 例题选讲149

2.2 微分中值定理161

2.2.1 问题提出161

2.2.2 主要性质及结论161

2.2.3 例题选讲166

2.3.2 主要性质及结论179

2.3 泰勒公式179

2.3.1 问题提出179

2.3.3 例题选讲183

2.4 一元函数微分学应用（一）192

2.4.1 问题提出192

2.4.2 概念入门192

2.4.3 主要性质及结论193

2.4.4 例题选讲198

2.5 一元函数微分学应用（二）213

2.5.1 问题提出213

2.5.2 一元函数微分在面积（体积）问题中的应用214

2.5.3 一元函数微分在距离及相关问题中的应用215

2.5.4 相关变化率及其应用216

2.5.5 边际与弹性分析218

2.6 微分学历史背景及人物介绍228

2.6.1 微分学历史背景简介228

2.6.2 牛顿的流数术微积分230

2.6.3 莱布尼兹的无穷小微积分233

2.6.4 微积分发明权之争235

2.6.5 牛顿生平简介236

2.6.6 莱布尼兹生平简介237

2.6.7 拉格朗日生平简介238

第3章 一元函数积分学241

3.1.2 概念入门242

3.1 不定积分242

3.1.1 问题提出242

3.1.3 主要性质及结论244

3.1.4 例题选讲248

3.2 定积分267

3.2.1 问题提出267

3.2.2 概念入门267

3.2.3 主要性质及结论270

3.2.4 例题选讲276

3.3.1 问题提出285

3.3.2 概念入门285

3.3 微积分基本定理285

3.3.3 主要性质及结论286

3.3.4 例题选讲292

3.4 定积分应用310

3.4.1 问题提出310

3.4.2 主要应用及方法310

3.4.3 例题选讲315

3.5 广义积分327

3.5.1 问题提出327

3.5.2 概念入门328

3.5.3 主要性质及结论330

3.5.4 例题选讲334

3.6 一元函数积分学历史背景及人物介绍347

3.6.1 定积分概念产生的背景及其发展347

3.6.2 微积分基本定理产生的背景及其重要意义348

3.6.3 黎曼生平简介350

3.6.4 欧拉生平及他对数学科学的卓越贡献351

附录（上）：部分习题参考解答或提示356

下册389

第4章 级数389

4.1 数项级数390

4.1.1 问题提出390

4.1.2 概念入门390

4.1.3 主要性质及结论392

4.1.4 例题选讲400

4.2 函数项级数421

4.2.1 问题提出421

4.2.2 概念入门421

4.2.3 主要性质及结论423

4.2.4 例题选讲425

4.3 幂级数442

4.3.1 问题提出442

4.3.2 概念入门442

4.3.3 主要性质及结论444

4.3.4 例题选讲448

4.4.2 概念入门460

4.4 傅里叶级数460

4.4.1 问题提出460

4.4.3 主要性质及结论463

4.4.4 例题选讲468

4.5 构建级数学说历史背景与重要人物介绍480

4.5.1 柯西构建常数项级数学说的背景480

4.5.2 函数列（函数项级数）一致收敛学说建构的背景481

4.5.3 幂级数理论诞生的背景及其意义482

4.5.4 傅里叶级数理论产生的背景及其意义483

4.5.5 柯西生平简介484

4.5.6 魏尔斯特拉斯生平简介487

第5章 多元函数微分学491

5.1 欧氏空间与多元函数492

5.1.1 问题提出492

5.1.2 概念入门493

5.1.3 n维空间点集论基本定理495

5.1.4 例题选讲496

5.2 二元函数的极限与连续501

5.2.1 问题提出501

5.2.2 概念入门501

5.2.3 主要性质及结论503

5.2.4 例题选讲505

5.3.1 问题提出515

5.3 多元函数的偏导数与全微分515

5.3.2 概念入门516

5.3.3 主要性质及结论518

5.3.4 例题选讲522

5.4 高阶偏导数与极值536

5.4.1 问题提出536

5.4.2 概念入门537

5.4.3 主要性质及结论538

5.4.4 例题选讲543

5.5.1 问题提出555

5.5.2 概念入门555

5.5 隐函数与隐函数组555

5.5.3 主要性质及结论558

5.5.4 例题选讲561

5.6 几何应用与条件极值574

5.6.1 问题提出574

5.6.2 概念入门574

5.6.3 主要性质及结论575

5.6.4 例题选讲580

第6章 多元函数积分学591

6.1 含参变量积分592

6.1.1 问题提出592

6.1.2 概念入门592

6.1.3 主要性质及结论594

6.1.4 例题选讲603

6.2 二重积分与三重积分615

6.2.1 问题提出615

6.2.2 概念入门615

6.2.3 主要性质及结论618

6.2.4 例题选讲627

6.3 曲线积分与曲面积分654

6.3.1 问题提出654

6.3.2 概念入门654

6.3.3 主要性质及结论658

6.3.4 例题选讲665

6.4 场论初步689

6.4.1 问题提出689

6.4.2 概念入门689

6.4.3 基本运算规则及运算结果692

6.4.4 例题选讲693

6.5 多元积分学历史背景及高斯生平介绍696

6.5.1 重积分理论体系建立的历史背景696

6.5.2 微积分基本理论推广到高维情形的历史背景697

6.5.3 大数学家高斯的生平及成就简介698

附录（下）：部分习题参考解答或提示701

主要参考书目720