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第1章 误差1

1.1 数值方法1

1.2 误差2

1.3 浮点运算和舍入误差5

1.3.1 计算机中数的表示5

1.3.2 浮点运算和舍入误差7

习题112

第2章 解线性方程组的直接方法14

2.1 解线性方程组的Gauss消去法14

2.1.1 Gauss消去法15

2.1.2 Gauss列主元消去法19

2.1.3 Gauss按比例列主元消去法23

2.1.4 Gauss-Jordan消去法27

2.2 直接三角分解法28

2.2.1 Gauss消去法的矩阵表示形式28

2.2.2 矩阵三角分解32

2.2.3 解线性方程组的Crout方法34

2.2.4 Cholesky分解41

2.2.5 LDLT分解45

2.2.6 解三对角线性方程组的三对角算法（追赶法）49

2.3 行列式和逆矩阵的计算53

2.3.1 行列式的计算53

2.3.2 逆矩阵的计算55

2.4 向量和矩阵的范数58

2.4.1 向量的范数58

2.4.2 矩阵范数65

2.4.3 向量和矩阵序列的极限72

2.5 误差分析77

2.5.1 条件数和摄动理论初步77

2.5.2 舍入误差82

习题283

第3章 解线性方程组的迭代法90

3.1 迭代法的基本理论90

3.2 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法93

3.2.1 Jacobi迭代法93

3.2.2 Gauss-Seidel迭代法97

3.3 逐次超松弛迭代法（SOR方法）103

3.4 共轭斜量法107

习题3115

第4章 插值法119

4.1 引言119

4.2 Lagrange插值公式120

4.2.1 Lagrange插值多项式120

4.2.2 线性插值和抛物线插值122

4.2.3 插值公式的余项123

4.3 均差与Newton插值公式127

4.3.1 均差128

4.3.2 Newton均差插值多项式130

4.4 有限差与等距点的插值公式133

4.4.1 有限差133

4.4.2 Newton前差和后差插值公式135

4.5 Hermite插值公式138

4.6 样条插值142

4.6.1 分段多项式插值142

4.6.2 三次样条插值144

习题4152

第5章 函数逼近156

5.1 函数逼近的基本概念156

5.2 最佳一致逼近158

5.3 最佳平方逼近161

5.4 直交多项式164

5.4.1 直交多项式系及其基本性质164

5.4.2 Chebyshev多项式169

5.4.3 Legendre多项式174

5.4.4 其他常用的直交多项式177

5.5 近似最佳一致逼近179

5.5.1 Lagrange插值余项的极小化179

5.5.2 幂级数项数的缩短181

5.6 函数按直交多项式展开183

习题5187

第6章 数据的最小二乘拟合189

6.1 线性最小二乘拟合问题189

6.2 Chebyshev多项式在数据拟合中的应用197

6.3 离散的Fourier变换202

习题6207

第7章 数值积分209

7.1 Newton-Cotes型求积公式210

7.1.1 插值求积公式210

7.1.2 Newton-Cotes型求积公式211

7.1.3 梯形公式和Simpson公式212

7.1.4 离散误差和数值稳定性212

7.2 复合求积公式214

7.2.1 复合梯形公式214

7.2.2 变步长梯形公式216

7.2.3 复合Simpson公式218

7.3 Romberg积分法221

7.3.1 Euler-Maclaurin公式221

7.3.2 Romberg积分法224

7.4 自适应Simpson积分法229

7.5 Gauss型数值求积公式233

7.5.1 代数精确度概念234

7.5.2 Gauss型求积公式236

7.5.3 Gauss-Legendre求积公式241

7.5.4 Gauss-Laguerre求积公式245

7.5.5 Gauss-Chebyshev求积公式246

习题7247

第8章 解非线性方程和方程组的数值方法252

8.1 解非线性方程的迭代法252

8.2 区间分半法253

8.3 不动点迭代和加速迭代收敛256

8.3.1 不动点迭代法256

8.3.2 加速迭代收敛方法263

8.4 Newton-Raphson方法266

8.5 割线法272

8.6 多项式求根275

8.6.1 计算多项式的值的Horner算法275

8.6.2 求多项式根的Newton法276

8.6.3 Muller方法277

8.7 解非线性方程组的Newton法280

8.7.1 Fréchet导数281

8.7.2 解非线性方程组的Newton法284

8.7.3 拟Newton法287

习题8293

第9章 常微分方程初值问题的数值解法298

9.1 离散变量法和离散误差298

9.2 单步法302

9.2.1 Euler方法303

9.2.2 改进的Euler方法306

9.2.3 Runge-Kutta方法307

9.2.4 自适应Runge-Kutta方法314

9.3 单步法的相容性、收敛性和稳定性316

9.3.1 相容性316

9.3.2 收敛性317

9.3.3 稳定性318

9.4 线性多步法321

9.4.1 Adams方法322

9.4.2 预测-校正方法328

9.4.3 Hamming方法331

9.5 线性多步法的相容性、收敛性和数值稳定性337

9.6 常微分方程组和高阶微分方程的数值解法340

9.6.1 微分方程组340

9.6.2 高阶微分方程344

习题9345

第10章 常微分方程边值问题的数值解法349

10.1 差分方法349

10.1.1 解二阶线性微分方程第一边值问题的差分方法350

10.1.2 非线性微分方程352

10.2 打靶法353

习题10356

第11章 求线性方程组的最小二乘解的数值方法357

11.1 线性方程组的最小二乘解357

11.2 法方程组358

11.3 直交分解361

11.3.1 直交分解和线性方程组的最小二乘解361

11.3.2 Householder变换362

11.3.3 列主元QR方法371

习题11372

第12章 矩阵特征值问题374

12.1 引言374

12.2 乘幂法374

12.2.1 乘幂法374

12.2.2 乘幂法的加速380

12.2.3 反乘幂法（逆迭代法）383

12.3 Householder方法386

12.4 QR方法394

12.4.1 Givens变换394

12.4.2 基本的QR方法395

12.4.3 带原点平移的QR方法396

习题12400

参考文献402

部分习题答案403