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第一篇 空间解析几何学2

第一章 基本概念及矢量代数初步2

1.空间有向线段的射影2

2.空间直角坐标系3

3.有向线段的坐标7

4.矢量概念11

5.矢量的标量积13

附注（1）矢量的矢量积，（2）矢量函数的求导16

第二章 平面、直线及曲面的方程18

6.平面方程的法式18

7.三元一次方程19

8.两平面的交角22

9.空间直线方程24

10.有向三角形的射影28

11.空间坐标轴的旋转32

12.曲面方程举例34

第二篇 多元函数的微分学42

第三章 偏导数与全微分42

13.多元函数概念42

14.二重极限45

15.二元函数在一点上及在定义域内的连续性51

16.偏导数55

17.二元函数的可导性与可微性59

18.方向导数62

19.链导法的推广65

20.全微分69

21.二元函数的拉格朗日定理与泰勒定理73

附注（1）关于重极限的存在问题，（2）闭集与开集，（3）极限归并原则，（4）再论二元函数在一个自变量固定时的极限74

第四章 从隐函数研究曲线及曲面80

22.方程在一点邻近的解开80

23.隐函数求导法84

24.平面曲线、空间曲线与曲面的讨论87

25.平面曲线的奇点92

26.坐标变换与反变换94

27.球面坐标与柱面坐标98

28.二元函数的极值问题101

附注（1）平面的参数方程，（2）曲面的参数方程，（3）空间曲线的曲率与挠率，弗雷内公式，（4）极值的充分条件109

第三篇 无穷级数122

第五章 常数项与函数项级数122

29.无穷级数的收敛与发散122

30.正项级数的收敛问题125

31.绝对收敛与条件收敛131

32.函数项级数的一致收敛问题135

33.函数项级数的逐项积分与求导问题144

34.幂级数148

35.函数展开为幂级数问题152

36.无穷级数与反常积分158

37.复变量幂级数160

附注（1）柯西普遍审敛准则应用于级数，（2）级数项易位问题，（3）级数的相乘，（4）阿贝尔审敛准则，（5）阿贝尔定理的证明，（6）无穷乘积165

第六章 傅里叶级数175

38.三角级数与周期函数175

39.函数的傅里叶级数177

40.傅里叶级数的收敛问题180

41.傅里叶级数举例184

42.正交函数系191

43.傅里叶级数的复数形式195

附注（1）吉布斯现象，（2）傅里叶级数的逐项求积分196

第四篇 多元函数的积分学202

第七章 重积分及其应用202

44.含参数的定积分202

45.二重积分概念208

46.重积分的基本特性212

47.矩形域上重积分的计算215

48.任意域上重积分的计算218

49.重积分转换于极坐标222

50.三重积分略说225

51.反常重积分227

52.用重积分计算体积230

53.曲面的面积234

54.重积分在物理学中的简单应用239

附注（1）重极限与累极限的关系，（2）含参数的反常积分246

第八章 线积分与面积分253

55.线积分概念253

56.线积分与路线无关的问题257

57.全微分求积分问题259

58.线积分的基本定理262

59.矢量场与标量场266

60.联系重积分与线积分的高斯定理271

61.格林公式278

62.面积分概念279

63.联系重积分与面积分的奥斯特罗格拉茨基定理284

64.联系面积分与线积分的斯托克斯定理286

附注（1）重积分转换式，（2）斯托克斯定理的证明，（3）矢量场作为旋度场的充分条件288

第五篇 微分方程294

第九章 一阶微分方程294

65.一阶微分方程的几何意义294

66.变量可分离的一阶微分方程298

67.用变量转换求变量的分离300

68.一阶线性微分方程305

69.全微分方程309

70.单参数曲线族的微分方程314

71.一阶微分方程组316

附注（1）平面曲线族的包络，（2）克莱罗微分方程，（3）欧拉-柯西折线近似积分法317

第十章 二阶线性微分方程322

72.解的存在定理322

73.齐次二阶线性微分方程的解323

74.常系数齐次二阶线性微分方程328

75.简谐振动与阻尼振动330

76.非齐次二阶线性微分方程334

77.强迫振动339

78.贝塞尔微分方程略说340

附注（1）二阶微分方程的边值问题，（2）高于二阶的常系数齐次线性微分方程的基解组342

第十一章 数学物理学中的偏微分方程345

79.求积分的几种简单方法345

80.波动方程的初值问题352

81.圆域上拉普拉斯方程的边值问题355

82.自由的弦振动357

83.阻尼的弦振动364

84.热传导方程366

第六篇 复变函数的微积分学370

第十二章 解析函数的特性370

85.可导性的条件370

86.解析函数的反函数376

87.复变函数的定积分与不定积分377

88.柯西-古尔萨基本定理382

89.从复变对数到复变初等函数385

90.解析函数与保形映射389

91.柯西-古尔萨基本定理的一种应用402

92.柯西积分公式406

93.解析函数的泰勒展开409

94.解析函数的洛朗展开411

95.留数定理415

96.解析函数与拉普拉斯方程419

参考书目422